2的算術平方根
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2015年9月6日) |
2的平方根 | ||
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命名 | ||
名稱 | 2的算術平方根 2的主平方根 根號2 | |
識別 | ||
種類 | 無理數 | |
符號 | ||
性質 | ||
連分數 | ||
以此為根的多項式或函數 | ||
表示方式 | ||
值 | 1.414213562... | |
二進制 | 1.011010100000100111100110… | |
十進制 | 1.414213562373095048801688… | |
十六進制 | 1.6A09E667F3BCC908B2FB1366… | |
2的算術平方根,俗稱「根號2」,記作,可能是最早被發現的無理數。相傳畢達哥拉斯學派的希帕索斯首先提出了「不是有理數」的命題:若一個直角三角形的兩個直角邊都是1,那麼它的斜邊長,無法用整數或分數表示。
其最初65位為
是無理數的證明
常見的證明
- 假設是有理數,即有整數、,使得
- 將重寫成最簡分數,即和互質,且
- 所以,即
- 因為必為偶數,故亦是偶數
- 故為偶數(奇數的平方不會是偶數)
- 所以必有一整數,使得
- 將(3)的式子代入(6):
- 化簡得
- 因為是偶數,所以是偶數,亦是偶數
- 所以和都是偶數,跟是最簡分數的假設矛盾
- 因為導出矛盾,所以(1)的假設錯誤,不是有理數,即是無理數
這個證明可推廣至證明任何非完全平方數的正整數,其算術平方根為無理數。
另一個證明
另外一個是無理數的反證法證明較少為人所知,但證明方法也相當漂亮:
- 假設是有理數,便可以表示成最簡分數,其中, 為正整數
- 由於,所以
- 因為
- 所以
- 故是比更簡的分數,與是最簡分數的假設矛盾
從一個直角邊為,斜邊為的等腰直角三角形,可以用尺規作圖作出直角邊為,斜邊為的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。
性質
2的算術平方根的連分數展開式為:
註釋
- ^ 令, 由觀察可知,即, 解方程,取正根,得, 因此。
參見
外部連結
- 是無理數的六個證明,香港大學數學系蕭文強(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)(Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2)
- 舊題新解 — 根號2是無理數,張海潮 張鎮華[永久失效連結](數學傳播 第 30 卷 第 4 期)