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上同調環

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代數拓撲中,拓撲空間X上同調環是由X上同調群上積組成的。此處,「上同調」指奇異上同調,不過環結構也存在於德拉姆上同調等其他理論中。它也是函子式的:對於空間中的連續映射,可在上同調環上得到反變(contravariant)的環同態

具體來說,給定X上的上同調群序列,其係數在交換環R(一般是ZnZQRC)中,就可以定義上積

上積給出了上同調群

直和的乘法,將變成了環。實際上,它自然是一個N次環,非負整數k為次數。上積保持分次不變。

上同調環是分次交換的,即上積與由分次定義的符號交換。具體地,對度為k、ℓ的純元素,有

上同調環衍生出的一個數值不變量是上積長(cup-length),即度數≥ 1、積不為零的分次元素的最大數目。例如,復射影空間的上積長等於其復維度

例子

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  • 克奈定理n的笛卡爾積的模2上同調環是一個係數在中的n變量多項式環。
  • 楔和的退化上同調環是它們的退化上同調環的直積。
  • 除了度為0的部分,懸掛(suspension)的上同調環為0。

另見

參考文獻