上同調環

代數拓撲中，拓撲空間X 的上同調環是由X的上同調群與上積組成的環。此處，「上同調」指奇異上同調，不過環結構也存在於德拉姆上同調等其他理論中。它也是函子式的：對於空間中的連續映射，可在上同調環上得到反變（contravariant）的環同態。

具體來說，給定X上的上同調群 $H^{k}(X;\ R)$ 序列，其係數在交換環R（一般是Z_n、Z、 Q、R、C）中，就可以定義上積：

H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).

上積給出了上同調群

H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).

的直和的乘法，將 $H^{\bullet }(X;R)$ 變成了環。實際上，它自然是一個N次環，非負整數k為次數。上積保持分次不變。

上同調環是分次交換的，即上積與由分次定義的符號交換。具體地，對度為k、ℓ的純元素，有

(\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).

上同調環衍生出的一個數值不變量是上積長（cup-length），即度數≥ 1、積不為零的分次元素的最大數目。例如，復射影空間的上積長等於其復維度。

例子

$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ where $|\alpha |=1$ .
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]$ where $|\alpha |=1$ .
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ where $|\alpha |=2$ .
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]$ where $|\alpha |=2$ .
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ where $|\alpha |=4$ .
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]$ where $|\alpha |=4$ .
據克奈定理，n份 $\mathbb {R} P^{\infty }$ 的笛卡爾積的模2上同調環是一個係數在 $\mathbb {F} _{2}$ 中的n變量多項式環。
楔和的退化上同調環是它們的退化上同調環的直積。
除了度為0的部分，懸掛（suspension）的上同調環為0。

Novikov, S. P. Topology I, General Survey. Springer-Verlag. 1996. ISBN 7-03-016673-6.