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分配律

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分配律(distributive property)二元運算的一個性質,它起源於基本代數運算,同時部分抽象代數運算亦符合該定律

定義

是定義在集合上的兩個二元運算,我們說

  • 對於滿足左分配律,如果:
;
  • 對於滿足右分配律,如果:
;
  • 如果對於同時滿足左分配律和右分配律,那麼我們說對於滿足分配律。

如果滿足交換律,那麼以上三條語句在邏輯上是等價的。

例子

  • 包括實數,自然數複數基數中的乘法都對加法滿足分配律。
  • 實數及複數中的除法都對加法滿足右分配律,但不滿足左分配律。
  • 序數的乘法對加法只滿足左分配律,不滿足右分配律。
  • 矩陣乘法矩陣加法滿足分配律(但不滿足交換律)。
  • 集合併集交集滿足分配律,交集對併集也滿足分配律。另外,交集對對稱差也滿足分配律。
  • 邏輯析取邏輯合取滿足分配律,邏輯合取對邏輯析取也滿足分配律。另外,邏輯合取對邏輯異或也滿足分配律。
  • 對於實數(或任何全序集合),最大值對最小值滿足分配律,反之亦然:
  • 對於實數,加法對最大值滿足分配律,對最小值也滿足分配律:

環的分配律

分配律在分配格中很常見。

一個環有兩個二元運算(通常稱為),其中一個要求是必須對滿足分配律。

是另外一種具有兩個二元運算代數結構。如果這兩個運算中的任何一個(例如)對另外一個()滿足分配律,則也一定滿足分配律,這時這個格便稱為分配格。

參見