對頂角

在幾何學中，對頂角是兩個角之間的一種位置關係。兩條直線相交時會產生一個交點，並產生以這個交點為頂點的四個角。稱其中不相鄰的兩個角互為對頂角。或者說，其中的一個角是另一個的對頂角。

對頂角滿足下列定理：兩直線相交，對頂角相等。

用數學語言描述就是（如右圖）：

設直線AD、BC交於點O。則形成四個角：∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。其中，∠AOB和∠COD互為對頂角，∠AOC和∠BOD互為對頂角。∠AOB = ∠COD，∠AOC = ∠BOD。

歷史

泰勒斯生於希臘，是一位擅長於幾何學的數學家及哲學家。他一生發現了多個幾何學定理，包括等腰三角形中的「等邊對等角」定理，也包括對頂角定理。

設直線AD、BC交於點O，那麼，∠AOB和∠AOC 互為鄰補角。根據鄰補角的性質，

\angle AOB+\angle AOC=\pi

其中 $\pi$ 是一個平角的弧度數。

類似地，∠COD和∠AOC 互為鄰補角。根據鄰補角的性質，

\angle COD+\angle AOC=\pi

因此， $\angle AOB+\angle AOC=\pi =\angle COD+\angle AOC$

兩邊減去相同的角度 $\angle AOC$ 後，就得到

\angle AOB=\angle COD

。

同樣地，可以證明 $\angle AOC=\angle BOD$ 。

對頂角通常用於測量角度以及證明全等三角形。以下是一個利用對頂角證明全等三角形的例子：

如右圖，已知AB=CD，∠BAE=∠CDE。求證： $\triangle ABE\cong \triangle DCE$ 。

證明：在△ABE與△DCE中，

{\begin{cases}\angle BAE=\angle CDE\\\angle AEB=\angle CED\\AB=DC\end{cases}}

因此， $\triangle ABE\cong \triangle DCE$ 。

在以上證明中，∠AEB=∠CED的結論就是通過對頂角定理得出的。注意，在一般的幾何證明中，對頂角定理並不需要顯式地敘述出來，可以當作是默認的條件。