全等三角形

全等三角形指兩個全等的三角形，它們的三條邊及三個角都應對等。全等三角形是幾何中全等之一。根據全等轉換，兩個全等三角形可以平移、旋轉、軸對稱，或重疊等。

全等的數學符號為： $\cong$

当使用该符号时，需保证符号两边的角、边一一对应。

定義

當兩個三角形的對應邊及角，完全相等，便是全等三角形。

\triangle ABC\cong \triangle XYZ\,\!

性質

全等三角形有以下性質：

它們的對應邊相等。
它們的對應角相等。

若三角形ABC與三角形DEF全等時（如右圖），表示為：

\triangle ABC\cong \triangle DEF\,\!

下列三對邊長為「對應邊」：

{\overline {AB}}\;{\overline {DE}},{\overline {BC}}\;{\overline {EF}},{\overline {AC}}\;{\overline {DF}}

下列三對角為「對應角」：

\angle A\;\angle D,\angle B\;\angle E,\angle C\;\angle F

同時，所有對應邊長及角度均相等：

$\angle BAC=\angle EDF\,\!$
$\angle ABC=\angle DEF\,\!$
$\angle ACB=\angle DFE\,\!$
${\overline {AB}}={\overline {DE}}\,\!$
${\overline {AC}}={\overline {DF}}\,\!$
${\overline {BC}}={\overline {EF}}\,\!$

用途

因為多邊形可由多個三角形組成，所以利用此方法，亦可驗證其它全等的多邊形。

判定

下列五種方法均可驗證全等三角形：

SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊；三邊）：三邊長度相等。
SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊；兩邊一夾角）：兩邊，且夾角相等。
ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角；兩角一夾邊）：兩角，且夾邊相等。
AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊；兩角一對邊）：兩角，且非夾邊相等。
RHS（Right angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊，又称 HL（斜边、直角边）；斜股性質）：在一对直角三角形中，斜邊及另一條直角邊相等。

下列兩種方法不能驗證為全等三角形：

AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角）：三角相等。不過它是證明相似三角形的一個條件。
SSA（Side-Side-Angle，邊、邊、角）：兩邊相等，而另一角（非夾角）相等。（但當該角是直角或鈍角時可確定三角形，而 RHS 便是該角是直角時的情形）

以上的各方法也可通过三角函数的相关定理证明。这相当于解三角形，即三条边三个角一共六个量、固定其中三个而判断剩下三个量是否有唯一解。

SSS

如右圖

	$\triangle ABC$	$\triangle CDA$	原因
邊（一）	${\overline {AC}}$	${\overline {CA}}$	共用邊
邊（二）	${\overline {BC}}$	${\overline {DA}}$	已知
邊（三）	${\overline {AB}}$	${\overline {CD}}$	已知

$\triangle ABC\cong \triangle CDA\,\!$

此时三边已知，三个角可分别由余弦定理计算，由于 $\cos {}$ 在 0°到 180°之间是单调的，所以 $\arccos {}$ 可保证解出唯一值。

SAS

如右圖

	$\triangle ABC$	$\triangle ADC$	原因
邊（一）	${\overline {AC}}$	${\overline {AC}}$	共用邊
角	$\angle BAC$	$\angle DAC$	已知
邊（二）	${\overline {AB}}$	${\overline {AD}}$	已知

$\triangle ABC\cong \triangle ADC\,\!$

此时两边夹一角已知，首先用余弦定理计算第三边，接下来与 SSS 的情况相同。

ASA

如右圖

	$\triangle ABC$	$\triangle AED$	原因
角（一）	$\angle BAC$	$\angle EAD$	共用角
邊	${\overline {AC}}$	${\overline {AD}}$	已知
角（二）	$\angle ACB$	$\angle ADE$	已知

$\triangle ABC\cong \triangle AED\,\!$

此时两角夹一边已知，通过三角形内角和得到第三角后用正弦定理计算剩下两边。

RHS

RHS 判定定理在直角三角形中專用，也称“HL”。即為直角三角形中的 SSA，也稱為斜股性質。如右圖

	$\triangle {ABC}$	$\triangle {DFE}$	原因
直角	$\angle ACB$	$\angle DEF$	已知
斜邊	${\overline {AB}}$	${\overline {DF}}$	已知
邊	${\overline {BC}}$	${\overline {FE}}$	已知

$\triangle ABC\cong \triangle DFE\,\!$

勾股定理，或是直接連兩边的頂端解出剩下一边，即变成 SSS 或 SAS。

不能驗證全等三角形的条件

AAA

AAA（角、角、角），指兩個三角形的任何三個角都對應地相同。但這不能判定全等三角形，但AAA能判定相似三角形。在幾何學上，當兩條線疊在一起時，便會形一個點和一個角。而且，若該線無限地廷長，或無限地放大，該角度都不會改變。同理，在左圖中，該兩個三角形是相似三角形，這兩個三角形的關係是放大縮小，因此角度不會改變。

這樣，便能得知若邊無限地根據比例加長，角度都保持不變。因此，AAA 並不能判定全等三角形。

从正弦定理的角度看， ${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R$

这个比例的比值可以任意缩放，因此无法唯一确定三边长度。

SSA

SSA（邊、邊、角），也稱為 ASS ，指兩個三角形的任一角及另外兩個沒有夾著該角的邊相等。但這不能判定全等三角形。

在右圖中，分別有三角形 ABC 及三角形 DEF ，並提供了以下信息：

$\angle BAC=\angle EDF$
${\overline {AB}}={\overline {DE}}$
${\overline {BC}}={\overline {EF}}$

这即是 SSA。假如在右圖繪畫一個圓形，中心點為點E，半徑為 ${\overline {EF}}$ 。通過這個圓形便會發現：在 $\angle EDF$ 和 ${\overline {DE}}$ 沒有改變的情况下，會出現另一個與 ${\overline {EF}}$ 一樣長度的直線（即圖中的 ${\overline {EG}}$ ）。這樣便能證明 SSA 並不能驗證全等三角形，（除非已知 ${\overline {BC}}>{\overline {AB}}$ 。當是直角三角形時應稱為RHS）。

雖然如此，當 $\angle BAC$ ≥ 90°時， $\angle BAC>\angle ACB$ 。又 $\angle BAC>\angle ACB$ ⇔ ${\overline {BC}}>{\overline {AB}}$ ， ${\overline {BC}}>{\overline {AB}}$ ，故可驗證全等三角形。

再次使用正弦定理， ${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R$

其中已知 $a={\overline {DE}}$ 、 $c={\overline {EG}}={\overline {EF}}$ 和 $\alpha =\angle D$ ，可解出 $\sin {\gamma }$ ，但 $\sin {}$ 在 0°到 180°上先升后降导致 $\arcsin {}$ 有两解，即 $\gamma$ 可能是钝角或锐角（或退化为只有一解是直角的特殊情况，此处略去），分别对应图中的 $\angle DGE$ 和 $\angle DFE$ ，然而若已知该三角形是直角或钝角三角形时，可以视情况排除掉其中的一个解、进而唯一确定 $\gamma$ ，此时做减法得出 $\beta$ 后即可用余弦定理解得最后一边 $B$ 。

軼事

全等三角形教學歌曲爆紅

2016年，循道中學的校園電台在學校錄製了一首名叫《S.A.S.》的歌曲，由校內三名學生主唱。創作概念是來自該學校的數學老師想令學生記得全等三角形的驗證方法。歌詞由上述老師於2014年創作，歌曲改編自1970年代德國流行樂隊 Silver Convention（英语：Silver Convention）歌曲《Fly, Robin, Fly（英语：Fly, Robin, Fly）》。