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拉馬努金theta函數是一個由英國數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金定義的雙變量復變theta函數,推廣了雅可比theta函數,被廣泛地運用在q-函數和級數的理論中。
定義
拉馬努金theta函數被定義為
而其中![{\displaystyle f(a,b)=f(b,a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf13e075798a4813e81f54fa0b8661c7f6d826ee)
對於所有的
,拉馬努金theta函數取到簡單零點。
拉馬努金theta函數也可以用q-珀赫哈默爾符號定義,如
![{\displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }(-b;ab)_{\infty }(ab;ab)_{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ca145f273fa9cc911ae5b44e8927be7b929efb8)
這說明與其他theta函數類似,拉馬努金theta函數也與q-模擬存在緊密聯繫。它有一個積分表示,
與其他函數的聯繫
單變量的拉馬努金theta函數被定義成
![{\displaystyle f(-q)\equiv f(-q,-q^{2})=(q,q)_{\infty };/|q|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ff430c492a89aeb4ee0f6bd91b6fd4e000f11c)
此外,拉馬努金phi函數,拉馬努金psi函數和拉馬努金chi函數也是拉馬努金theta函數的特殊單變量情形。它們之間的關係可以被解釋為:
![{\displaystyle \varphi (q)\equiv f(q,q)={\frac {(-q,-q)_{\infty }}{(+q,-q)_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c2e73ba4340a7123d3fe3a59faf03c39a64444)
而它就是第三雅可比theta函數的特例
,它的級數表達是OEIS中的數列A000122 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)。
![{\displaystyle \psi (q)\equiv f(q,q^{3})={\frac {(q^{2},q^{2})_{\infty }}{(q,q^{2})_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce21a977350db4f11cf5b32f5cfe877630ae77b)
它的級數表達是OEIS中的數列A010054 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)。
![{\displaystyle \chi (q)\equiv f(-q,q^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca255c08be6f1e8ba77971f0157930e2c7d2d9e)
它的級數表達是OEIS中的數列A000700 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)。
應用
拉馬努金theta函數用於確定玻色弦理論、超弦理論和M理論中的臨界維數。
參考資料