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歐拉定理 (幾何)

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在平面幾何學中的歐拉定理是說,三角形外心內心之間的距離 可表示為

其中外接圓半徑內切圓半徑。

從歐拉定理可推出歐拉不等式 (當三角形等邊時,等號成立):

 ≥ 

證明

(1)當時,表示外心與內心重合,此時易證三角形為正三角形,且,因此

(2)當大於時,請參考右下圖:

(a)設三角形的外心為,內心為,延長交外接圓於,則為弧的中點。連延長交外接圓於,過垂直於為垂足,則。易證三角形與三角形相似,故,即。所以

(b)連接,因

所以,有,由(a)的結論知

(c)設延長線交外接圓於 兩點,則,所以,即