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欧拉定理 (几何)

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在平面几何学中的欧拉定理是说,三角形外心内心之间的距离 可表示为

其中外接圆半径内切圆半径。

从欧拉定理可推出欧拉不等式 (当三角形等边时,等号成立):

 ≥ 

证明

(1)当时,表示外心与内心重合,此时易证三角形为正三角形,且,因此

(2)当大于时,请参考右下图:

(a)设三角形的外心为,内心为,延长交外接圆于,则为弧的中点。连延长交外接圆于,过垂直于为垂足,则。易证三角形与三角形相似,故,即。所以

(b)连接,因

所以,有,由(a)的结论知

(c)设延长线交外接圆于 两点,则,所以,即