漸伸線(involute)(或稱漸開線(evolvent))和漸屈線(evolute)是曲線的微分幾何上互為表裏的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線,曲線B是曲線A的漸屈線。
在曲線上選一定點S。有一動點P由S出發沿曲線移動,選在P的切線上的Q,使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同。漸伸線就是Q的軌跡。
若曲線B有參數方程
,其中
,曲線A的方程為
。
曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。
若該曲線有參數方程
(
),則其漸屈線為
。
每條曲線可有無窮多條漸伸線,但只有一條漸屈線。
參數化曲線
漸開線方程曲線的參數化定義的函數( x(t) , y(t) ) 是:
![{\displaystyle X[x,y]=x-{\frac {x'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203e22b2482eac10aaea0446f9a3e69e82db9674)
範例
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圓的漸伸線 (反向, by unwinding)
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懸鏈線的漸開線是一個 曳物線。
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圓的漸伸線
圓的漸伸線會形成一個類似阿基米德螺線的圖形。
![{\displaystyle \,x=a\left(\cos \ t+t\sin \ t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9402076145d113f5c6cadfa7ca1b42965c9369)
![{\displaystyle \,y=a\left(\sin \ t-t\cos \ t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445e0f7cf4e8920d7f648f4001690a9b85804722)
其中
是圓的半徑,
為參數
- 在 極坐標系中,
一個圓的漸開線的參數方程可以寫成:
![{\displaystyle \,r=a\sec \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7725966c2d60fa0eeb0e0f5c3a8802a8bad0baff)
![{\displaystyle \,\theta =\tan \alpha -\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ee6306e0fef968cf874c33eb2c639367df8b8e)
其中
是圓的半徑
為參數
通常,一個圓的漸開線常被寫成寫成:
![{\displaystyle \,r=a{\sqrt {1+t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a207a7317449a56d14588734d2c35c1ff4d3847e)
.
歐拉建議使用圓的漸開線作為齒輪的形狀, 這個設計普遍存在於目前使用,稱為漸開線齒輪。
懸鏈線的漸開線
一個懸鏈線的漸開線 會通過此懸鏈線的頂點 ,形成曳物線。 在笛卡兒坐標系中,一個懸鏈線的漸開線的參數方程可以寫成:
![{\displaystyle x=t-\mathrm {tanh} (t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7ccef8f7e4919bb97f11ffe9f123c0ec0d088b)
![{\displaystyle y=\mathrm {sech} (t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9a4b5718cf232892ad900cbc442d61521ea1c7)
其中t 是參數,而sech是雙曲正割函數(1/cosh(x))
衍生
用
我們得到
且
。
替代成
可得到
。
擺線的漸開線
一個 擺線的漸開線是另一個與它 全等的擺線 在笛卡兒坐標系中,一個擺線的漸開線的參數方程可以寫成:
![{\displaystyle x=r(t-\sin(t))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2324ca30b9f4524dafcef1b0427ea3564f63fcb2)
![{\displaystyle y=r(1-\cos(t))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f160a6a4e7f7c395cc17215e01f857b9b832c415)
其中t是角度,r是半徑
參見
外部連結