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算術-幾何平均值不等式

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算術-幾何平均值不等式,簡稱算幾不等式,是一個常見而基本的不等式,表現算術平均數幾何平均數之間恆定的不等關係。設個非負實數,它們的算術平均數,它們的幾何平均數。算術-幾何平均值不等式表明,對任意的非負實數

等號成立若且唯若

通常用於兩個數之間,設這兩個數為,也就是

算術-幾何平均值不等式僅適用於非負實數,是對數函數凹性的體現,在數學自然科學工程科學以及經濟學等其它學科都有應用。

算術-幾何平均值不等式有時被稱為平均值不等式(或均值不等式),其實後者是一組更廣泛的不等式。

例子

的情況,設:,那麼

可見

歷史上的證明

歷史上,算術-幾何平均值不等式擁有眾多證明。的情況很早就為人所知,但對於一般的,不等式並不容易證明。1729年,英國數學家麥克勞林最早給出一般情況的證明,用的是調整法,然而這個證明並不嚴謹,是錯誤的。

柯西的證明

1821年,法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中給出一個使用逆向歸納法的證明[1]

命題:對任意的個正實數

時,顯然成立。假設成立,那麼成立。證明:對於個正實數

假設成立,那麼成立。證明:對於個正實數,設,那麼由於成立,

但是,因此上式正好變成

也就是說

綜上可以得到結論:對任意的自然數,命題都成立。這是因為由前兩條可以得到:對任意的自然數,命題都成立。因此對任意的,可以先找使得,再結合第三條就可以得到命題成立了。

歸納法的證明

使用常規數學歸納法的證明則有喬治·克里斯托英語George Chrystal(George Chrystal)在其著作《代數論》(Algebra)的第二卷中給出的[2]

由對稱性不妨設中最大的,由於,設,則,並且有

根據二項式定理

於是完成了從的證明。

此外還有更簡潔的歸納法證明[3]

的情況下有不等式成立,於是:

所以,從而有

基於琴生不等式的證明

注意到幾何平均數實際上等於,因此算術-幾何平均不等式等價於:

由於對數函數是一個凹函數,由琴生不等式可知上式成立。

基於排序不等式的證明

,於是有,再作代換,運用排序不等式得到:

於是得到,即原不等式成立。

此外還有基於伯努利不等式或藉助調整法、輔助函數求導和加強命題的證明。

推廣

算術-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。

加權算術-幾何平均不等式

不僅「均勻」的算術平均數和幾何平均數之間有不等式,加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。設為正實數,並且,那麼:

加權算術-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩陣形式

算術-幾何平均不等式可以看成是一維向量的係數的平均數不等式。對於二維的矩陣,一樣有類似的不等式: 對於係數都是正實數的矩陣

,那麼有:

也就是說:對個縱列取算術平均數,它們的幾何平均小於等於對個橫行取的個幾何平均數的算術平均。

極限形式

也稱為積分形式:對任意在區間上可積的正值函數,都有

這實際上是在算術-幾何平均值不等式取成後,將兩邊的黎曼和中的趨於無窮大後得到的形式。

算數-幾何-調和平均值不等式

若再規定的調和平均數

則有

且等號依舊成立若且唯若

證明由算數-幾何平均值不等式知

且等號成立於

參見

參考來源

  1. ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique,頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) Paris, 1821. p457.
  2. ^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), Chapter XXIV.p46.
  3. ^ P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007
  • 匡繼昌,《常用不等式》,山東科技出版社。
  • 李勝宏,《平均不等式與柯西不等式》,華東師大出版社。
  • 莫里斯·克萊因(Morris Kline),張理京 張錦炎 江澤涵 譯,《古今數學思想》,上海科學技術出版社。
  • 李興懷,《學科奧林匹克叢書·高中數學》,廣東教育出版社。