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柴比雪夫總和不等式

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數學上的柴比雪夫總和不等式柴比雪夫不等式數學家柴比雪夫命名,可用以比較兩組數積的和及兩組數的線性和的積的大小:

,則:

上式也可以寫作

它是由排序不等式而來。

證明

,由排序不等式可知,最大的和為順序和:

於是:

將這不等式分邊相加,同時對右邊進行因式分解,便得到:

兩邊都除以,就得到柴比雪夫不等式的第一個不等號

同理,右邊的不等號可由最小的和為逆序和推得。

積分形式

柴比雪夫不等式的積分形式如下:

區間上的可積的實函數,並且兩者都是遞增或兩者都是遞減的,則:

上式可推廣到任意區間。

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