普呂克坐標

數學上，普呂克坐標是將射影三維空間中的每條線給予6個齊次坐標，也就是一個射影5維空間中的一點。普呂克坐標由尤利烏斯·普呂克於1844年給出。

定義

令L為一直線，穿過點$p(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$和點$q(y_{0},y_{1},y_{2},y_{3})$。

定義$p_{ij}$為${\begin{pmatrix}x_{i}&x_{j}\\y_{i}&y_{j}\end{pmatrix}}=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}$的行列式。

這蘊涵着$p_{ii}=0$和$p_{ij}=-p_{ji}$.

考慮六元組$(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})$。不是所有6個都可以同時為0，因為如果是的話，所有${\begin{pmatrix}x_{0}&x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{0}&y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}$的$2\times 2$子矩陣都是零，則該矩陣最多秩為1，這個p及q為不同點的假設不符。

p和q的選取對於6元組的影響只是一個非零因子，如下所示：

考慮$p'(x'_{0},x'_{1},x'_{2},x'_{3})$和$q'(y'_{0},y'_{1},y'_{2},y'_{3})$為L上不同點，其中$x'_{i}=k_{1}x_{i}+l_{1}y_{i}$而$y'_{i}=k_{2}x_{i}+l_{2}y_{i}$。 p'和q'不同的假設歸結為$k_{1}l_{2}-k_{2}l_{1}\neq 0$。 可以檢驗：${\begin{pmatrix}x'_{i}&x'_{j}\\y'_{i}&y'_{j}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{1}&l_{1}\\k_{2}&l_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{i}&x_{j}\\y_{i}&y_{j}\end{pmatrix}}$ 這樣，$(p'_{01},p'_{02},p'_{03},p'_{23},p'_{31},p'_{12})=(k_{1}l_{2}-k_{2}l_{1})(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})$

稱W為所有PG(3,K)中的直線的集合。我們現在恰當地定義一個映射$\alpha$：從W到一個K上的5維射影空間： $\alpha :W\rightarrow PG(5,K):L\rightarrow L^{\alpha }=(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})$