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皮克定理

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給定頂點座標均是整點(或正方形格子點)的簡單多邊形皮克定理說明了其面積 和內部格點數目 、邊上格點數目 的關係:

證明

因為所有簡單多邊形都可切割為一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形 ,及跟 有一條共同邊的三角形 。若 符合皮克公式,則只要證明 加上 亦符合皮克公式(I),與及三角形符合皮克公式(II),就可根據數學歸納法,對於所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。

多邊形

的共同邊上有 個格點。

  • 的面積:
  • 的面積:
  • 的面積:

三角形

證明分三部分:證明以下的圖形符合皮克定理:

  1. 所有平行於軸線的矩形;
  2. 以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形;
  3. 所有三角形(因為它們都可內接於矩形內,將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形)。

矩形

設矩形 長邊短邊各有,個格點:

直角三角形

易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等,且 , 相等。設其斜邊上有 個格點。

一般三角形

逆運用前面對2個多邊形的證明:

既然矩形符合皮克定理,直角三角形符合皮克定理。又前面證明到若P,T符合皮克公式,則 加上 亦符合皮克公式。那麼由於矩形可以分解成1個任意三角形和至多三個直角三角形。

於是顯然有,只有當這個任意三角形也符合皮克定理的時候,才會使得在直角三角形符合的同時,矩形也符合。

推廣

  • 取格點的組成圖形的面積為一單位。在平行四邊形格點,皮克定理依然成立。套用於任意三角形格點,皮克定理則是
  • 對於非簡單的多邊形,皮克定理,其中 表示 歐拉示性數
  • 高維推廣:Ehrhart多項式;一維:植樹問題。
  • 皮克定理和歐拉公式等價

定理提出者

Georg Alexander Pick,1859年生於維也納,1943年死於特萊西恩施塔特集中營

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