網球拍的三個主軸
網球拍定理或者中間軸定理,又稱賈尼別科夫效應或扎尼別科夫效應(Dzhanibekov Effect)是經典力學中描述自由剛體運動時歐拉方程的解,該剛體可以繞三個不同的主軸旋轉,並且三個轉動慣量互不相等。因為該現象由俄羅斯太空人弗拉基米爾·扎尼別科夫於1985年在太空中發現,因以為名[1]。1991年的一篇論文解釋了該效應[2],不過此現象在至少150年前就已被發現[3]。
該定理所描述的現象為:剛體繞着第一個和第三個主軸轉動時很穩定,但繞居中的主軸轉動時則不穩定。我們可以用下面的實驗來解釋:握住拍柄使得拍面呈水平,然後將球拍拋至空中,繞着垂直握把的水平軸(圖中 ê2)旋轉,再試着接住球拍。旋轉過程中,拍面自身很可能也會轉了半圈,以致不容易接住。相對而言,如果是繞着握把軸(圖中 ê1)或是與拍面垂直的軸(ê3)旋轉,則可以不造成其他軸旋轉半圈。
事實上,該實驗可以用任意有三個不同轉動慣量的物體來實現,例如書本或者電視遙控器。只要旋轉軸稍微與第二主軸不同,該現象就會發生,不依賴於空氣阻力或者重力。
網球拍繞三個軸旋轉的影片。中間那格從亮邊翻轉到了暗邊。
數學描述
自由轉動時,歐拉方程的形式為
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818b8365fc680ad283a9ccad76e4a8ed192aae8f)
這裏,
為三個轉動慣量,並假設
。
為三個相應的角速度,
為其時間導數。
現在研究繞主軸1旋轉的情況,要確定平衡狀態的性質,可以假設另外兩個初始角速度都非常小,從而
也非常小,所以
與時間的關係可以忽略掉。
然後對方程(2)求導,並把
到代入其中,從而有
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{2})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f6fcb3592728c3924ec4348995a7b96f98797d)
微重力下的網球拍原理,來自 NASA。值得一提的是,注意,現在
的符號發生了變化,所以繞着這根軸旋轉是穩定的。
對於
也是類似的原因,也是穩定的。
現在將一樣的分析應用到
上,這一次是
非常小,
與時間的關係可以忽略。
對方程(1)求導,並把
到代入其中,從而有
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{2})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f469d03e04af28d538c1cdbe803b065a6aa5ef8)
注意,
的符號保持不變(角速度會增長),所以繞主軸2旋轉不穩定。因此,一個很小的擾動就會使物體發生"翻轉"。
參考文獻