网球拍定理

网球拍的三个主轴

网球拍定理或者中间轴定理，又称贾尼别科夫效应或扎尼别科夫效应（Dzhanibekov Effect）是经典力学中描述自由刚体运动时欧拉方程的解，该刚体可以绕三个不同的主轴旋转，并且三个转动惯量互不相等。因为该现象由俄罗斯宇航员弗拉基米尔·扎尼别科夫于1985年在太空中发现，因以为名。1991年的一篇论文解释了该效应，不过此现象在至少150年前就已被发现。

该定理所描述的现象为：刚体绕着第一个和第三个主轴转动时很稳定，但绕居中的主轴转动时则不稳定。我们可以用下面的实验来解释：握住拍柄使得拍面呈水平，然后将球拍抛至空中，绕着垂直握把的水平轴（图中 ê₂）旋转，再试着接住球拍。旋转过程中，拍面自身很可能也会转了半圈，以致不容易接住。相对而言，如果是绕着握把轴（图中 ê₁）或是与拍面垂直的轴（ê₃）旋转，则可以不造成其他轴旋转半圈。

事实上，该实验可以用任意有三个不同转动惯量的物体来实现，例如书本或者电视遥控器。只要旋转轴稍微与第二主轴不同，该现象就会发生，不依赖于空气阻力或者重力。

网球拍绕三个轴旋转的影片。中间那格从亮边翻转到了暗边。

数学描述

自由转动时，欧拉方程的形式为

${\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}$

这里，$I_{1},I_{2},I_{3}$为三个转动惯量，并假设$I_{1}>I_{2}>I_{3}$。$\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}$为三个相应的角速度，${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}$为其时间导数。

现在研究绕主轴1旋转的情况，要确定平衡状态的性质，可以假设另外两个初始角速度都非常小，从而$~{\dot {\omega }}_{1}$也非常小，所以$\omega _{1}$与时间的关系可以忽略掉。

然后对方程(2)求导，并把${\dot {\omega }}_{3}$到代入其中，从而有

${\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{2})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\\end{aligned}}$

微重力下的网球拍原理，来自 NASA。

值得一提的是，注意，现在$\omega _{2}$的符号发生了变化，所以绕着这根轴旋转是稳定的。

对于$I_{3}$也是类似的原因，也是稳定的。

现在将一样的分析应用到$I_{2}$上，这一次是${\dot {\omega }}_{2}$非常小，${\omega }_{2}$与时间的关系可以忽略。

对方程(1)求导，并把${\dot {\omega }}_{3}$到代入其中，从而有

${\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{2})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\\end{aligned}}$

注意，$\omega _{1}$的符号保持不变（角速度会增长），所以绕主轴2旋转不稳定。因此，一个很小的扰动就会使物体发生"翻转"。