网球拍的三个主轴
网球拍定理或者中间轴定理,又称贾尼别科夫效应或扎尼别科夫效应(Dzhanibekov Effect)是经典力学中描述自由刚体运动时欧拉方程的解,该刚体可以绕三个不同的主轴旋转,并且三个转动惯量互不相等。因为该现象由俄罗斯宇航员弗拉基米尔·扎尼别科夫于1985年在太空中发现,因以为名[1]。1991年的一篇论文解释了该效应[2],不过此现象在至少150年前就已被发现[3]。
该定理所描述的现象为:刚体绕着第一个和第三个主轴转动时很稳定,但绕居中的主轴转动时则不稳定。我们可以用下面的实验来解释:握住拍柄使得拍面呈水平,然后将球拍抛至空中,绕着垂直握把的水平轴(图中 ê2)旋转,再试着接住球拍。旋转过程中,拍面自身很可能也会转了半圈,以致不容易接住。相对而言,如果是绕着握把轴(图中 ê1)或是与拍面垂直的轴(ê3)旋转,则可以不造成其他轴旋转半圈。
事实上,该实验可以用任意有三个不同转动惯量的物体来实现,例如书本或者电视遥控器。只要旋转轴稍微与第二主轴不同,该现象就会发生,不依赖于空气阻力或者重力。
网球拍绕三个轴旋转的影片。中间那格从亮边翻转到了暗边。
数学描述
自由转动时,欧拉方程的形式为
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818b8365fc680ad283a9ccad76e4a8ed192aae8f)
这里,
为三个转动惯量,并假设
。
为三个相应的角速度,
为其时间导数。
现在研究绕主轴1旋转的情况,要确定平衡状态的性质,可以假设另外两个初始角速度都非常小,从而
也非常小,所以
与时间的关系可以忽略掉。
然后对方程(2)求导,并把
到代入其中,从而有
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{2})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f6fcb3592728c3924ec4348995a7b96f98797d)
微重力下的网球拍原理,来自 NASA。值得一提的是,注意,现在
的符号发生了变化,所以绕着这根轴旋转是稳定的。
对于
也是类似的原因,也是稳定的。
现在将一样的分析应用到
上,这一次是
非常小,
与时间的关系可以忽略。
对方程(1)求导,并把
到代入其中,从而有
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{2})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f469d03e04af28d538c1cdbe803b065a6aa5ef8)
注意,
的符号保持不变(角速度会增长),所以绕主轴2旋转不稳定。因此,一个很小的扰动就会使物体发生"翻转"。
参考文献