q階乘冪是階乘冪的Q-模擬[1]。與階乘冪在廣義超幾何函數中的作用類似,q階乘冪也是定義基本超幾何函數的基礎。
定義
n為正整數時
- 當n為正整數時,q階乘冪定義為
![{\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1466ba7e092bdb772d16e37528304f129dd4d52)
n為0時
- 當n為0時,q階乘冪定義為
![{\displaystyle (a;q)_{0}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e08580648c17926f024546ff8776dc785ce84f)
n為無窮大時
- 與一般的階乘冪不同的是,q階乘冪可以擴展成一個無窮乘積
![{\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7b7dd330e81362c6cd58b4d9e959563ae93118)
- 這時它是一個關於q在單位圓盤內的解析函數,也可以考慮為一個關於q的形式冪級數。其中一個特殊情況
![{\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d215ab17825076b0d5aab4ac52b0bd7753867a09)
- 被稱為歐拉函數。
n為負數時
- 有限q階乘冪可以用無窮q階乘冪表示
![{\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7f907936f668ccacd8f2ab89d4adb26e421418)
- 這樣就能把q階乘冪擴展到n為負整數的情況:對於非負整數n,有
![{\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6962b7e934ccc8f6e7439fc4326f50a46087b054)
- 以及
![{\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6fd993d11429c7f4e525406d37a436ca2cf0f5)
多變量的寫法
因為很多關於q階乘冪的等式都含有多個q階乘冪相乘,因此在標準寫法中用一個含有多個變量的q階乘冪來表示這個乘積:
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82b61091c36e3c40744890888e52b1e7b8a11d8)
圖集
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![{\displaystyle (a;b)_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab691dc351d39956a70d069b6c199095dfe5d22)
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![{\displaystyle (a;b)_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d77f575034e1f54ca86abad8b8c7698c4cfefd37)
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![{\displaystyle (a;b)_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37aa71a45d08a77cfc69773da235c057587d8eb)
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![{\displaystyle (a;b)_{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c80b06f54c07efc5d880883d7edf6a748e3e8b)
參考文獻
- ^ Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538