—的的喀喀湖上的幽靈(talk to Louer) 2009年3月28日 (六) 01:26 (UTC)[回覆]
狹義相對論的幾何意義
狹義相對論的一些結論也可以通過幾何方式直觀地推導出。
虛數坐標系下的三角函數
首先,我們引入虛數坐標系下的三角函數。
如圖,建立直角坐標系。對三點A(x1,ict1),B(x2,ict1),C(x2,ict2),令Δx=x2-x1,Δt=t2-t1,可定義:
關於這種坐標系和三角函數,有一些與傳統概念不同之處:
- 看上去「長」的長度可能實際上是短的,因此長度不能直觀地比較;
- 正弦函數可以取虛數;
- 餘弦函數絕對值可以大於1。
世界線
由愛因斯坦理論得知,三維空間與一維時間組成四維時空。因此,可以由四維時空坐標系O-xyzt。(因無法畫出四維坐標,除特別聲明外,各圖中不考慮y、z軸,x軸為與速度平行方向。)
一個物體的世界線指它在時空坐標上對應點的軌跡。世界線是物體可以達到的時空坐標的總和。換言之,物體不可能存在於世界線外的任何一點。
比如,一輛車以速度v直線運動,則x=vt,即圖中線
。
洛倫茲變換的幾何推導
在s系,即x-ict系中,設一個物體以v的速度沿x方向運動,零時刻在原點。則其世界線為O-ict'軸。相對此物本身靜止的參考系,即x'-O-ict'系,記作s'系,由4.2節可知:
則
則s系中一點P(x,ict)在s'系對應點坐標為(x',ict'),有:
即為洛倫茲變換。
尺縮與鐘慢
尺縮
設s係為本徵參考系。其間有一段長度
,則在s系中,按照測量的同時原則,應測量AB兩點在s'系中同一時刻坐標差,那麼,看到的B必在s系中早於A,記為B'。
則
,故尺縮。
或也可解釋為,長度AB即為同一時刻A、B兩點x坐標之差。A、B在s系世界線均平行ict軸(靜止),在s'系用平行x'軸的直線截它們即得
。
鐘慢
設s係為本徵參考系。在s系中有一段時間差δt,即A(x1,ict1),B(x2,ict2)。在s'系中,時間差即為坐標在ict'分量上的差,即
所以
,故鐘慢。
分析
在坐標上看,時間軸與空間軸的情況十分類似,但「尺」是本徵系最長,「鍾」是本徵系最快,初學者往往難以理解。這涉及時間差與長度的測量。
測量時間差時,只需在同一系中記錄兩點(四維點)的時間坐標再求差即可,與其空間位置完全無關。
而測量長度時,要求在測量系中必須同時測頭尾坐標,再求空間坐標之差,這兩點在測量時本徵參考系的時間坐標可以不同。但由於在本徵參考系空間位置不變,故(在4.4.1節圖中)要算
而非
(在s系可以看出,B在任何時刻都不在B*)。
事實上,也可以測量不同時的空間坐標差,但這就不是長度了,也不具有明顯的幾何意義。
速度合成公式
一物體A相對s系以v1運動,其世界線為OT1,tanθ=-iβ1;一物體B相對A以v2運動,其世界線為OT2,tanφ=-iβ2。B相對s系的速度設為v3。則有
得
,即為速度合成公式。
特別地,當β=1,即v=c時,tanθ=-i,θ=45°,可以算得
光波的多普勒效應
在s系中,光波周期為T,則在0時刻和icT時刻發出兩束光的世界線如圖。
在s'系中易看出T'為兩條世界線與ict'軸交點間長度。
直線l1方程:ict=icT+x;
直線O-ict'方程:ict=x cotθ
得
狹義相對論的局限性
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文獻
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