—的的喀喀湖上的幽灵(talk to Louer) 2009年3月28日 (六) 01:26 (UTC)[回复]
狭义相对论的几何意义
狭义相对论的一些结论也可以通过几何方式直观地推导出。
虚数坐标系下的三角函数
首先,我们引入虚数坐标系下的三角函数。
如图,建立直角坐标系。对三点A(x1,ict1),B(x2,ict1),C(x2,ict2),令Δx=x2-x1,Δt=t2-t1,可定义:
关于这种坐标系和三角函数,有一些与传统概念不同之处:
- 看上去“长”的长度可能实际上是短的,因此长度不能直观地比较;
- 正弦函数可以取虚数;
- 余弦函数绝对值可以大于1。
世界线
由爱因斯坦理论得知,三维空间与一维时间组成四维时空。因此,可以由四维时空坐标系O-xyzt。(因无法画出四维坐标,除特别声明外,各图中不考虑y、z轴,x轴为与速度平行方向。)
一个物体的世界线指它在时空坐标上对应点的轨迹。世界线是物体可以达到的时空坐标的总和。换言之,物体不可能存在于世界线外的任何一点。
比如,一辆车以速度v直线运动,则x=vt,即图中线
。
洛伦兹变换的几何推导
在s系,即x-ict系中,设一个物体以v的速度沿x方向运动,零时刻在原点。则其世界线为O-ict'轴。相对此物本身静止的参考系,即x'-O-ict'系,记作s'系,由4.2节可知:
则
则s系中一点P(x,ict)在s'系对应点坐标为(x',ict'),有:
即为洛伦兹变换。
尺缩与钟慢
尺缩
设s系为本征参考系。其间有一段长度
,则在s系中,按照测量的同时原则,应测量AB两点在s'系中同一时刻坐标差,那么,看到的B必在s系中早于A,记为B'。
则
,故尺缩。
或也可解释为,长度AB即为同一时刻A、B两点x坐标之差。A、B在s系世界线均平行ict轴(静止),在s'系用平行x'轴的直线截它们即得
。
钟慢
设s系为本征参考系。在s系中有一段时间差δt,即A(x1,ict1),B(x2,ict2)。在s'系中,时间差即为坐标在ict'分量上的差,即
所以
,故钟慢。
分析
在坐标上看,时间轴与空间轴的情况十分类似,但“尺”是本征系最长,“钟”是本征系最快,初学者往往难以理解。这涉及时间差与长度的测量。
测量时间差时,只需在同一系中记录两点(四维点)的时间坐标再求差即可,与其空间位置完全无关。
而测量长度时,要求在测量系中必须同时测头尾坐标,再求空间坐标之差,这两点在测量时本征参考系的时间坐标可以不同。但由于在本征参考系空间位置不变,故(在4.4.1节图中)要算
而非
(在s系可以看出,B在任何时刻都不在B*)。
事实上,也可以测量不同时的空间坐标差,但这就不是长度了,也不具有明显的几何意义。
速度合成公式
一物体A相对s系以v1运动,其世界线为OT1,tanθ=-iβ1;一物体B相对A以v2运动,其世界线为OT2,tanφ=-iβ2。B相对s系的速度设为v3。则有
得
,即为速度合成公式。
特别地,当β=1,即v=c时,tanθ=-i,θ=45°,可以算得
光波的多普勒效应
在s系中,光波周期为T,则在0时刻和icT时刻发出两束光的世界线如图。
在s'系中易看出T'为两条世界线与ict'轴交点间长度。
直线l1方程:ict=icT+x;
直线O-ict'方程:ict=x cotθ
得
狭义相对论的局限性
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文献
外部链接
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