三角形的角平分线会相交于内切圆的圆心
在数学中,若一个二维平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切,该圆就是所谓的多边形的内切圆,这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。
一个多边形至多有一个内切圆,也就是说对于一个多边形,它的内切圆,如果存在的话,是唯一的。并非所有的多边形都有内切圆。三角形和正多边形一定有内切圆。拥有内切圆的四边形被称为圆外切四边形。
三角形的内切圆
任何三角形
都有内切圆。这个内切圆的圆心称为内心,一般标记为I,是三角形内角平分线的交点[1]。在三线坐标,内心是1:1:1。
性质
内切圆的半径为
,当中
表示三角形的面积,a、b、c为三角形的三个边长。
以内切圆和三角形的三个切点为顶点的三角形
是
的内接三角形之一。
的内切圆就是
的外接圆。而
、
和
三线交于一点,它们的交点就是热尔岗点(Gergonne point)。内切圆与九点圆相切,切点称作费尔巴哈点(见九点圆)。
若以三角形的内切圆为反演圆进行反演,则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆(半径都等于内切圆半径的一半)。[2]
三角形的外接圆半径R、内切圆半径r 以及内外心间距OI 之间有如下关系:
[3]
直角三角形两股和等于斜边长加上该三角形内切圆直径
![{\displaystyle a+b=c+2r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df39688d5bd5a1e7a62cd1fb6378a835b84c7f64)
由此性质再加上勾股定理
,可推得:
![{\displaystyle \triangle =r(r+c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45a215ac0ded74132548ef6aeabb36df7866822)
在直角座标系中,若顶点的座标分别为
、
、
,则内心的座标为:
[4]
四边形的内切圆
不是所有的四边形都有内切圆,拥有内切圆的四边形称为圆外切四边形。凸四边形ABCD有内切圆当且仅当两对对边之和相等:
。圆外切四边形的面积和内切圆半径的关系为:
,其中s 为半周长。
同时拥有内切圆和外接圆的四边形称为双心四边形。这样的四边形有无限多个。若一个四边形为双心四边形,那么其内切圆在两对对边的切点的连线相互垂直。而只要在一个圆上选取两条相互垂直的弦,并过相应的顶点做切线,就能得到一个双心四边形。
正多边形的内切圆
正多边形必然有内切圆,而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合,都在正多边形的中心。边长为a 的正多边形的内切圆半径为:
![{\displaystyle r_{n}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9e79c82696cee0e81abc2489f915df50943c5d)
其内切圆的面积为:
![{\displaystyle s_{n}=\pi r_{n}^{2}={\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd12a39a09047911606834e26eb4609d5ceebf54)
内切圆面积
与正多边形的面积
之比为:
![{\displaystyle \varphi _{n}={\frac {s_{n}}{S_{n}}}={\dfrac {{\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}{{\frac {na}{2}}\left[{\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right]}}={\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9592ed5e8615ee30839a0d2de18e37ac3f5bf0a)
故此,当正多边形的边数
趋向无穷时,
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi _{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5dc7462547444fb12924fb1d82d2839265489f8)
参考文献
参见
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| X(1)-X(10) | |
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| X(11)-X(20) | |
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| X(21)- | |
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