林德勒夫引理

在拓扑学中，林德勒夫引理（Lindelöf's lemma）所阐述的是：满足C₂公理和T₃公理的空间也满足T₄公理。

证明

取$X$的一个可数拓扑基${\mathcal {B}}$。设$F$和$F'$是不相交的闭集，构造它们的不相交邻域如下：

对$\forall x\in F$，则$x\notin F'$。由T₃公理可知，有$x$和$F'$的不相交邻域$W$和$W'$，于是${\bar {W}}\cap F'=\varnothing$。取$B\in {\mathcal {B}}$，使得$x\in B\subset W$，则${\bar {B}}\cap F'=\varnothing$。记$\{B_{1},\ B_{2},\ \cdots \}$是${\mathcal {B}}$中所有闭包与$F'$不相交的成员，上面已证明$F\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}$。记$\{B_{1}',\ B_{2}',\ \cdots \}$是${\mathcal {B}}$中所有闭包与$F$不相交的成员，则$F'\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}'$。

记$U_{n}=B_{n}\setminus \bigcup _{i=1}^{n}{\bar {B_{i}'}}$，$V_{n}=B_{n}'\setminus \bigcup _{i=1}^{n}{\bar {B_{i}}}\ (n=1,2,\cdots )$，则$U_{n}$和$V_{n}$都是开集，并且$\forall n,m,\ U_{n}\cap V_{m}=\varnothing$。令$U=\bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}$，$V=\bigcap _{n=1}^{\infty }V_{n}$，则$U\cap V=\bigcup _{n,m=1}^{\infty }(U_{n}\cap V_{m})=\varnothing$。设$x\in F$，则存在$n$，使得$x\in B_{n}$，从而$x\in U_{n}\subset U$。因此$U$是$F$的开邻域，同理$V$是$F'$的开邻域。从而$U$和$V$是$F$和$F'$的不相交邻域，空间$X$满足T₄公理。

参见

• 点集拓扑学
• 分离公理
• 可数性公理

参考

• 《基础拓扑学讲义》尤承业 P42、43