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矢 (几何)

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圆弧的矢、弦和半径

圆弧(sagitta,有时缩写成sag[1])或弓形高[2]是指该圆弧对应的之中点到之中点的距离[3]。 在建筑学中,矢广泛用于计算跨越一定高度和距离所需的弧度,并且在光学中用于评估球面镜或透镜的厚度。矢的英文sagitta来自拉丁文sagitta意思是“箭”。

三角函数的正矢函数正是得名于[4][5],在割圆八线中,矢对应到正矢

矢与弓形高是相似的概念,差别仅在矢专指一个弧中点到弧两端连线之中点的那条线,而弓形高是弓形的高。矢与弧相关,而弓形高与弓形相关。

公式

在下列等式中,代表矢(弓形高),为圆的半径,为圆弧两端点的距离,也就是弦长。其中半弦和弓心距正好是直角三角形的两条边,半径刚好是其斜边,根据勾股定理则有:

由此可以推导出矢、弦和半径的关系式:

矢也可以透过正矢函数来计算出来。若圆弧对应的圆心角为Δ,令Δ = 2θ,则矢为:

近似值

当矢相对于半径很小时,可以使用以下公式来近似计算[3]

或者,如果矢长(弓形高)很小,且已知矢长、半径和弦长,则可以透过以下公式来估计计弧长:

其中,a弧长。这个公式为中国数学家沈括所知,两个世纪后,郭守敬提出了一个更准确的公式。[6]

参见

参考文献