微分几何中,第二基本形式(second fundamental form)是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式,通常记作 II。与第一基本形式一起,他们可定义曲面的外部不变量,主曲率。更一般地,若在黎曼流形中或洛伦兹流形中,的一个光滑超曲面上,选取了一个光滑单位法向量场,则可定义这样一个二形式。
R3 中曲面
引论
R3 中一个参数曲面 S 的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像,z = f(x,y),且平面 z = 0 与曲面在原点相切。则 f 以及关于 x 和 y 的偏导数在 (0,0) 皆为零。从而 f 在 (0,0) 处的泰勒展开以二次项开始:
,
记
, 则在 (x, y) 坐标中原点处的第二基本形式是二次型:
![{\displaystyle Ldx^{2}+2Mdxdy+Ndy^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a30bceeb4d562cad8405e6d0e30a1a69f784e4f)
对 参数曲面S 上一个光滑点 p,总可以选取坐标系使得坐标的 z-平面与 S 切于 p,然后可以相同的方式定义第二基本形式。
经典记号
一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设 r=r(u,v) 是 R3 中一个正则参数曲面,这里 r 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 r 关于 u 和 v 的偏导数为 ru 与 rv。参数化的正则性意味着 ru 与 rv 对 r 的定义域中任何 (u,v) 是线性无关的。等价地,叉积 ru × rv 是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场 n(u,v):
![{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3c5a488b57f4afb20c8e621d2bdd11cda97482)
第二基本形式通常写成
![{\displaystyle \mathrm {II} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0fca9c00d8927e2a2ecee532d923ee62817e68c)
在基 {ru, rv} 下的矩阵是
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7290cf08a7465409360fe4149dae465b24df92)
在参数化 uv-平面上一个给定点处系数 L, M, N 由 r 在那个点的二次偏导数到 S 的法线上投影给出,利用点积可计算如下:
![{\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} ,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} ,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad450f93bdf99da6f09548232a51a497a86c3437)
现代记法
一个通常曲面 S 的第二基本形式定义如下:设 r=r(u1,u2) 是 R3 中一个正则参数曲面,这里 r 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 r 关于 uα 的偏导数为 rα,α = 1,2。参数化的正则性意味着 r1 与 r2 在 r 的定义域上是线性无关的,从而在每一点张成 S 的切空间。等价地,叉积 r1 × r2 是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场 n:
![{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f913318b95c0640fc73d71e214eed49f69e18ec8)
第二基本形式通常写作
![{\displaystyle \mathrm {II} =b_{\alpha \beta }du^{\alpha }du^{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44502e83684920e07ccf66da2122bbebe0b7422)
上式使用了爱因斯坦求和约定。
在参数 (u1, u2)-曲面给定点处系数 bαβ 由 r 的二次偏导数到 S 的法线的投影给出,利用点积可写成:
![{\displaystyle b_{\alpha \beta }=\mathbf {r} _{\alpha \beta }\cdot \mathbf {n} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0363ba1213ceac8e4506811ff8c32680f6378678)
黎曼流形中的超曲面
在欧几里得空间中,第二基本形式由
![{\displaystyle I\!I(v,w)=\langle d\nu (v),w\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e69f039d2d8c6c0fef42c7ebe8e49582e578747)
给出,这里
是高斯映射,而
是
的微分视为一个向量值微分形式,括号表示欧几里得空间的度量张量。
更一般地,在一个黎曼流形上,第二基本形式是描述一个超曲面形算子(记作 S)的等价方法,
![{\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle =-\langle \nabla _{v}n,w\rangle =\langle n,\nabla _{v}w\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbfb1f9303bdbd26813490eb2830e537aea25228)
这里
表示周围空间的共变导数,n 超曲面上一个法向量场。如果仿射联络是无挠的,则第二基本形式是对称的。
第二基本形式的符号取决于 n 的方向的选取。(这称为曲面的余定向,对欧几里得空间中的曲面,等价于给定曲面的一个定向)。
推广为任意余维数
第二基本形式可以推广到任意余维数。在这种情形下,它是切空间上取值于法丛的一个二次型,可以定义为
![{\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075ecbe2c405f7251d4ce492da49244a7e68359d)
这里
表示共变导数
到法丛的正交投影。
在欧几里得空间中,子流形的曲率张量可以描述为下列公式:
![{\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f44b8a840b3ee98318cf632f156fc54ae0fd9c)
这叫做高斯方程,可以视为高斯绝妙定理的推广。在一个标准正交基中第二基本形式的本征值,是曲面的主曲率。一组正交规范本征向量称为主方向。
对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率;如果 N 是嵌入黎曼流形 (M,g) 中一个流形,则 N 在诱导度量下的曲率张量
可以用第二基本形式与 M 的曲率张量
表示出来:
![{\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1695588cb7a6d1c73fcbccffa963d487456a52b5)
相关条目
参考文献
- Guggenheimer, Heinrich. Chapter 10. Surfaces. Differential Geometry. Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7.
- Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325.
- Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1.
外部链接