三角形数
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一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为三角形数。比如10个点可以组成一个等边三角形,因此10是一个三角形数:
头30个三角形数是1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, ...(OEIS数列A000217)。
三角数的二倍的平方根取整,是这个三角数的序数。
性质
- 第n个三角形数的公式是。
- 第n个三角形数是从1开始的n个自然数的和。
- 所有大于3的三角形数都不是质数。
- 除了0,1,3,21,55以外,三角形数不可能是费波那契数。[来源请求]
- 开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方(举例:1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102)
- 所有三角形数的倒数之和是2。
- 任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。
- 三角数的个位数字不可能是2、4、7、9,数字根不可能是2、4、5、7、8。
- 一部分三角形数(3、10、21、36、55、78……)可以用以下这个公式来表示:;而剩下的另一部分(1、6、15、28、45、66……)则可以用来表示。
- 一种检验正整数x是否三角形数的方法,是计算:
特殊的三角形数
- 55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形数。
- 第11个三角形数(66)、第1111个三角形数(617,716)、第111,111个三角形数(6,172,882,716)、第11,111,111个三角形数(61,728,399,382,716)都是回文式的三角形数,但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形数不是。
- 同时为三角形数及普洛尼克数的数(不定方程):最小的几个为0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……[1][2],对应的值分别为0, 2, 14, 84, 492, 2870,……(OEIS数列A053141),对应的值分别为0, 3, 20, 119, 696, 4059,……(OEIS数列A001652)。
它与其他数的关系
- 是否在相继出现的三角形数之间至少存在一个素数,在9000000以下的数目是正确的。
- 四面体数是三角形数在立体的推广。
- 两个相继的三角形数之和是平方数。
- 三角平方数是同时为三角形数和平方数的数。
- 三角形数属于一种多边形数。
- 所有偶完美数都是三角形数。
- 任何自然数是最多三个三角形数的和。高斯发现了这个规律,他在1796年7月10日在日记中写道:EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ
外部链接
- Hazewinkel, Michiel (编), Arithmetic series, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Triangular numbers(页面存档备份,存于互联网档案馆) at cut-the-knot
- There exist triangular numbers that are also square(页面存档备份,存于互联网档案馆) at cut-the-knot
- 埃里克·韦斯坦因. Triangular Number. MathWorld.
- Triangular numbers via 12 days of Christmas by Vi Hart
- Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard, including the generalisation to triangular cube roots, some higher dimensions, and some approximate formulae
参考资料
- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ pronic numbers. NUMBERS APLENTY. [2021-02-05]. (原始内容存档于2021-02-25).
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