群论中,乒乓引理(ping-pong lemma)给出了一个充分条件,保证一个群中数个子群所生成的群是这些子群的自由积。
历史
使用乒乓引理的论证法可以追溯至19世纪后期,通常认为是菲利克斯·克莱因最先使用[1],他研究克莱因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中[2],证明著名的蒂茨两择性(Tits alternative)结果,一个主要工具就是乒乓引理。这结果指出任何有限生成的线性群,或是一个逼肖可解群(virtually solvable group),或是包含一个秩2的自由子群。乒乓引理及其引申结果广泛应用于几何拓扑学及几何群论。
定理叙述
设G为群,作用在集合X上,H1和H2是G的非平凡子群,H是H1和H2生成的群。若X有两个不交非空子集X1和X2,使得
- 对所有
,都有![{\displaystyle a(X_{2})\subset X_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411cbcca188bb6067183ca8ac58eb634f04e74ab)
- 对所有
,都有![{\displaystyle b(X_{1})\subset X_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63fdda43456a4d0f4079dfce6c43c16e8389122)
则H是H1和H2的自由积,即
,或者
,而H是二面体群。
证明
设w是用H1和H2的元素写出的非空简约字。若
,其中
,
,则
![{\displaystyle {\begin{aligned}w(X_{2})&=a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}a_{k}(X_{2})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}(X_{1})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}(X_{2})\\&\subset \cdots \subset X_{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c23aecc0b5b5f5cc75bd80c7abf0d3aee87916)
故
。同上得
。
若H1和H2的阶不都等于2,不失一般性,假设
。若
,取
,则
,故由上可知
,
得
。若
,取
,则
,同上可得
,故
。因此得出
。
若
,令
,
。从上可知若有以a, b写出的非空简约字w等于1,则w只可能是
或
,故对某些数n > 0有
。取其最小者的值为n,则H为二面体群
。若无如此简约字w,则
。
推广
乒乓引理可以推广至数个子群的情形:
设G为群,作用在集合X上。又设H1, H2, ... , Hk是G的非平凡子群,且当中至少一个的阶不小于3。若X有两两不交的非空子集X1, X2, ... , Xk,使得当
时,对所有
,都有
。则H1, H2, ... , Hk所生成的群是其自由积,即
。
这条定理的证明与两个子群时的证明类似。
应用例子
矩阵
和
在特殊线性群
中生成的子群是秩2的自由群。
证明
群
以线性变换作用在平面
上。
设这两个矩阵各自生成子群
![{\displaystyle H_{1}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2725381b3fa0a75594af916b6432d2cc5e9dda)
![{\displaystyle H_{2}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7779b11682415c6d229e9a96283eb1564fe74818)
又设平面的两个不交子集为
![{\displaystyle X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f25f06d0f39351513432a64c68ef224d7c6307)
![{\displaystyle X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b229a2958cd09470c9ccd885fc814e2ac9b89dea)
H1, H2都同构于无限循环群。因为H1, H2, X1, X2适合乒乓引理的条件,由乒乓引理得出H1, H2生成的群为其自由积,而两个无限循环群的自由积为秩2的自由群。
参考
- Lyndon, Roger; Schupp, Paul. Combinatorial Group Theory. Classics in Mathematics. Germany: Springer-Verlag. 2001: 167 [1977]. ISBN 3-540-41158-5.