群論中,桌球引理(ping-pong lemma)給出了一個充分條件,保證一個群中數個子群所生成的群是這些子群的自由積。
歷史
使用桌球引理的論證法可以追溯至19世紀後期,通常認為是菲利克斯·克萊因最先使用[1],他研究克萊因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中[2],證明著名的蒂茨兩擇性(Tits alternative)結果,一個主要工具就是桌球引理。這結果指出任何有限生成的線性群,或是一個逼肖可解群(virtually solvable group),或是包含一個秩2的自由子群。桌球引理及其引申結果廣泛應用於幾何拓撲學及幾何群論。
定理敍述
設G為群,作用在集合X上,H1和H2是G的非平凡子群,H是H1和H2生成的群。若X有兩個不交非空子集X1和X2,使得
- 對所有
,都有![{\displaystyle a(X_{2})\subset X_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411cbcca188bb6067183ca8ac58eb634f04e74ab)
- 對所有
,都有![{\displaystyle b(X_{1})\subset X_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63fdda43456a4d0f4079dfce6c43c16e8389122)
則H是H1和H2的自由積,即
,或者
,而H是二面體群。
證明
設w是用H1和H2的元素寫出的非空簡約字。若
,其中
,
,則
![{\displaystyle {\begin{aligned}w(X_{2})&=a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}a_{k}(X_{2})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}(X_{1})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}(X_{2})\\&\subset \cdots \subset X_{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c23aecc0b5b5f5cc75bd80c7abf0d3aee87916)
故
。同上得
。
若H1和H2的階不都等於2,不失一般性,假設
。若
,取
,則
,故由上可知
,
得
。若
,取
,則
,同上可得
,故
。因此得出
。
若
,令
,
。從上可知若有以a, b寫出的非空簡約字w等於1,則w只可能是
或
,故對某些數n > 0有
。取其最小者的值為n,則H為二面體群
。若無如此簡約字w,則
。
推廣
桌球引理可以推廣至數個子群的情形:
設G為群,作用在集合X上。又設H1, H2, ... , Hk是G的非平凡子群,且當中至少一個的階不小於3。若X有兩兩不交的非空子集X1, X2, ... , Xk,使得當
時,對所有
,都有
。則H1, H2, ... , Hk所生成的群是其自由積,即
。
這條定理的證明與兩個子群時的證明類似。
應用例子
矩陣
和
在特殊線性群
中生成的子群是秩2的自由群。
證明
群
以線性變換作用在平面
上。
設這兩個矩陣各自生成子群
![{\displaystyle H_{1}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2725381b3fa0a75594af916b6432d2cc5e9dda)
![{\displaystyle H_{2}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7779b11682415c6d229e9a96283eb1564fe74818)
又設平面的兩個不交子集為
![{\displaystyle X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f25f06d0f39351513432a64c68ef224d7c6307)
![{\displaystyle X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b229a2958cd09470c9ccd885fc814e2ac9b89dea)
H1, H2都同構於無限循環群。因為H1, H2, X1, X2適合桌球引理的條件,由桌球引理得出H1, H2生成的群為其自由積,而兩個無限循環群的自由積為秩2的自由群。
參考
- Lyndon, Roger; Schupp, Paul. Combinatorial Group Theory. Classics in Mathematics. Germany: Springer-Verlag. 2001: 167 [1977]. ISBN 3-540-41158-5.