吸引子

吸引子（Attractor）是微积分和系统科学论中的一个概念。一个系统有朝某个稳态发展的趋势，这个稳态就叫做吸引子。

吸引子分为平庸吸引子和奇异吸引子（Strange Attractor）。例如一个钟摆系统，它有一个平庸吸引子，这个吸引子使钟摆系统向停止晃动的稳态发展。平庸吸引子有不动点（平衡）、极限环（周期运动）和整数维环面（概周期运动）三种模式。而不属于平庸的吸引子的都称为奇异吸引子，它表现了混沌系统中非周期性，无序的系统状态，例如天气系统。

对于吸引子，学术上并没有完善的定义，目前仅处于概念阶段。吸引子中的奇异吸引子对于混沌系统的研究意义重大。

定义

设$t$代表时间、$f(t,\cdot )$是用来确定动力系统状态的函数。也就是说，如果$a$是$n$维相空间的一个点，代表系统的初始状态，则$f(0,a)=a$且对每个正实数$t$有$f(t,a)$代表经过$t$单位时间后的状态。举例来说，如果一系统描述一维上某不受力粒子的演进，此时相空间是平面$\mathbb {R} ^{2}$，其坐标$(x,v)$中的$x$是粒子的位置，$v$是粒子的速度。那么就有

$f(t,(x,v))=(x+tv,v).\$

而吸子是相空间中的子集$A$，并有以下几个特征：

• $A$在$f$下不随时间变化，从而如果$a\in A$就有$f(t,a)\in A$对所有正实数$t$。
• 存在$A$的邻域$B(A)$（英文是basin of attraction），使得该域中任何点在时间趋于无限时都会趋近$A$，或者更精准的是满足以下叙述：

对任何$A$的邻域$N$和$b\in B(A)$，存在正实数$T$使得$f(t,b)\in N$对所有$t>T$。

• 不存在$A$的非空子集可以取代$A$满足前面两点性质。

吸子还有许多其它种的定义，例如有些作者要求吸子有正的测度（以避免吸子中只有一个点），但其他作者只要求$B(A)$是邻域。

种类

吸子是动力系统中相空间的子集。在公元1960年代前，吸子仍被认为有“简单的”几何形状，例如点、直线、平面等。但吸子的形状事实上可能相当复杂， 斯梅尔证明其马蹄映射的吸子有康托尔集的结构。

两种简单的吸子是不动点和极限环。也有的吸子无法使用基本的几何对象的组合来描述，那么他就被称作奇异吸子。

极限环

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奇异吸子

洛伦茨奇异吸子的图，其中用到参数ρ=28, σ = 10, β = 8/3。

一个吸子被称为奇异（strange）如果他具有分形结构，这常常出现在动力系统是混乱的时，但奇异非混乱吸子也是存在的。

若一奇异吸子是混沌的，则其对初始条件敏感。也就是任意两个极为接近的初始点，在一定数量的迭代运算后，两者可以相距甚远；也可以再经过一定数量的迭代运算后又变得极为靠近。也因此，一个具有混沌吸子的动力系统在局域是不稳定的，然而广域来看却可以是稳定的，因为这些动态点再怎么彼此分离，也都不会离开吸子。

奇异吸子这个词最早是由吕埃勒与Floris Takens所命名，用以描述流体系统经一连串分岔所产生的吸子结果。

奇异吸子在一些方向上常是可微的，但一些例子则如同康托尘则不可微。奇异吸子亦可出现在有噪声的场合。

奇异吸子的例子包括多卷波混沌吸引子、艾侬吸子、热斯勒吸子，以及洛伦茨吸子。