有关张量在广义范围内的性质和重要性的介绍,请参阅
张量。
在数学中,处理张量理论的现代无分量(component-free)方法首先将张量视为抽象对象,表示多重线性概念的某些特定类型。他们一些熟知的性质可由作为线性映射或更广泛地定义得出;而张量的操作导致了线性代数扩张为多重线性代数。
在微分几何中,一个内蕴的几何论断也许可以用一个流形上的张量场表示,这样完全不必使用参考坐标系。在广义相对论中同样如此,张量场描述了物理性质。无分量方法在抽象代数与同调代数中也很常用,在那里张量自然地出现了。
用向量空间的张量积定义
给定域
上一个有限向量空间集合
,我们可以考虑他们的张量积
。这个张量积中的一个元素称为一个张量(但这不是本文讨论的张量概念)。
向量空间
上的张量定义成具有形式
![{\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51cd6d35926dedc4a0bf248185a6dfed38aaacd)
的向量空间中的一个元素(即向量),这里 V* 是 V 的对偶空间。
如果在我们的积中有
个
与
个
,张量称为
型,具有反变(contravariant)阶数
与共变(covariant,也称协变)阶数
,总阶数为
。零阶张量就是数量(域
中的元素),1 阶反边张量是
中的向量,1 阶共变张量是
中的1-形式(因此,后两个空间经常称为反变向量与共变向量)。
型张量
![{\displaystyle V\otimes V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7357cc6d99957d5b1c38160284567b2410a9b45a)
自然同构于从
到
的线性变换空间。一个实向量空间
的内积自然对应于
张量
![{\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd251e74763f0f42feb6b60ecd94bdb44812c48)
称为相应的度量,一般记作
。
其它记法
文献中通常不写出完整的张量积以表示
型张量的空间,而使用缩写:
![{\displaystyle {\begin{matrix}T_{n}^{m}(V)&=&\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} \\&&m&&n\end{matrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69cfe5ccf9a1da414b7fcdf2192f7e8aff15fef)
这个空间的另外一种记法是用从向量空间
到向量空间
的线性映射来表示。让
![{\displaystyle L(V,W)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9243e7e37bdfad3f999ea4c9ee52f5dbdc33791)
表示所有从
到
的线性映射的集合,这会形成一个向量空间。因此,例如对偶空间(线性泛函的空间)可以写成
![{\displaystyle V^{*}\cong L(V,\mathbb {R} );}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ad4085fc42e88faa12d582b2089e9c169c5d8a)
由 universal property 可知,(m,n)-张量有如下自然的同构(isomorphism)关系
![{\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n},\mathbb {R} )\cong L^{m+n}(V^{*},\dots ,V^{*},V,\dots ,V,\mathbb {R} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5ba088939556ff5bff9703d756136ccc5c698d)
在上面的公式中,
和
的角色互换了。特别地,我们有
![{\displaystyle T_{0}^{1}(V)\cong L(V^{*},\mathbb {R} )\cong V,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40595f2ac3e69693601853efded749cdc3ce2ae8)
与
![{\displaystyle T_{1}^{0}(V)\cong L(V,\mathbb {R} )\cong V^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66783147342abf966d8edae5afadad9d70e34806)
以及
![{\displaystyle T_{1}^{1}(V)\cong L(V,V).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c302e88818037263171d24d7fb11e115af2ef08)
以下记法
![{\displaystyle GL(V,W)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd125c422b08394744daec6187ae19eabc018cb)
通常用来表示从 V 到 W 的可逆线性变换的空间,但对于张量空间没有类似的记法。
张量场
微分几何、物理学和工程学必须经常要处理光滑流形上的张量场。术语“张量'”实际上有时用作张量场的简称。一个张量场表达了逐点变化的张量的概念。
张量在不同座标间的变换公式
对任何给定向量空间
我们有
的一组基底
,以及对应的对偶空间
以及和向量基底
对应的对偶基底
(也可用
来表示)。上指标与下指标的区别提醒我们分量变换的方式以及向量跟余向量(covector)或是向量跟余向量的系数的分别。
例如,取空间
![{\displaystyle V\otimes V\otimes V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7b6e7a5310210575e35f523a6c601693ffd64b)
中的张量
,在我们的坐标系下分量可写成
![{\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}{}_{k}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \omega ^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a01e7044b067b7dabf98b6d17fa7bf02b5f828)
这里我们使用爱因斯坦求和约定,这是处理张量分量的一种常见约定:即当张量分量同时出现了一组上指标与下指标时,我们对这上下指标所有可能值求和,比如说:
这符号,在这约定下即代表
。也就是说在在爱因斯坦求和约定下我们有
。在物理中我们经常使用表达式
![{\displaystyle T^{ij}{}_{k}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75f16848547fd34b1ab909c623b47b1ae18dc64)
来表示张量,就像向量经常写成分量形式,这可以视为一个
数组。假设在另一坐标系中,有另一组基底
,则对同一向量来说两组基底对应的分量将会不同。如果
是两基底间的变换矩阵(注意这不是一个张量,因为它表达一个基的变化而不是一个几何实体),也就是
![{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j}R_{i}^{j}\mathbf {e} _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357b92b09e1e6a0a159c96cd1aa7eefc769b018f)
,设
是
的逆矩阵,对同一张量在新基底的张量分量设为
,则两者之间的变换公式为:
![{\displaystyle {\hat {T}}^{i'j'}\!{}_{k'}=\sum _{p,q,r}(R^{-1})_{p}^{i'}\,(R^{-1})_{q}^{j'}\,R_{k'}^{r}\,T^{pq}{}_{r}=(R^{-1})_{p}^{i'}\,(R^{-1})_{q}^{j'}\,R_{k'}^{r}\,T^{pq}{}_{r},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3cb279648b15194a9daf02294d877ae1ccc074)
注意上面的第二个等式使用了爱因斯坦求和约定。
在旧教材中这个变换规律经常作为一个张量的定义。形式上,这意味这那个张量作为所有坐标变换组成的群的一个特定表示。
参考文献