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数字和

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一个整数数字和,是将一在特定记数系统中的每一个位数相加起来所得的和。例如,84001在十进制中的数字和是13,即

这个概念与数字根有密切的关系,但并不相同,数字根是把所有数字相加起来所得的和,然后再把这个和的所有数字相加起来,又得到一个和,重复这个步骤,直到最终只剩下一个数字,这个数字便称为数字根。数字和可以是任意正整数的值,而数字根只能是0到9。

十进制中,数字和可以用来判断一个数是否能被3或9整除。如果数字和能被3或9整除,则原来的数也能被3或9整除。可参照去九法整除规则

定义

任何自然数都可以在底数为b下的进位制中表示,其中b的绝对值必须大于一。若有一自然数n,其于b进位制中表示为,则其数字和(或位数和)为将自然数映射到自然数的函数,其可以定义为:

其中,代表自然数n在底数为b的进位制表示时的位数个数。而每个位数又可以表示成:

举例来说,84001在十进制中的数字和可以表示为

此外,一个足够大的数在较大底数进位制下的数字和不会小于较小底数进位制下的数字和,即两底数,若,且有一个足够大的自然数n,则满足不等式[1]

一般单个位的数(如十进制的0至9)其数字和即为自己本身。十进制下前几个非负整数的数字和为 :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...(OEIS数列A007953

彼得·波尔文英语Peter_Borwein乔纳森·波尔文英语Jonathan Borwein使用此数列的母函数导出了许多快速收敛之有理超越级数。[2]

扩展到负整数

负整数的数字和目前没有一个广泛被接受的定义。一般可以透过负整数的有符号数表示法英语Signed-digit_representation来将自然数的数字和推广到负数。

另一种适用于负数的数字和为仅将最高位数代负号,其他位数照样相加的数字和,例如负一百五十八()可以拆成,对应的数字和为[3],这个数列为数字差(OEIS数列A274580)的相反数。

用途

数字和虽与数字根不同,但皆可以用于3和9的整除判断[4]。数字和与数字根不同之处在于,数字根必为0至9之间的自然数,而数字和可以是任意整数。两者用于判断3或9的倍数的方法皆是若一数的数字和或数字根能被3或9整除,则其为3或9的倍数[4]。特别地,对于判定9的倍数,此规则称为“九的规则”,为去九法的基础[5]

在早期的电脑中,亦常使用数字和作为检查计算机计算结果的一种常见方式[6]。此外数字和亦可以作为生成随机数的一种方式。假设所使用的数表中每个数字都是随机的,则根据中心极限定理,这些数的数字和可以视为具有接近高斯分布的随机分布。而早期在计算机还没被发明、使用手工计算时Edgeworth曾于1888年建议可以透过取对数数学用表中50位数字之和作为随机数生成的一种方式[7]

列表

下表列出了数字和为特定数的自然数:

数字和 OEIS 哈沙德数 素数
1 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, … A011557
2 2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001, … A052216 A069537 2,11,101
3 3, 12, 21, 30, 102, 111, 120, 201, 210, 300, 1002, … A052217
4 4, 13, 22, 31, 40, 103, 112, 121, 130, 202, 211, … A052218 A063997 A062339
5 5, 14, 23, 32, 41, 50, 104, 113, 122, 131, 140, 203, A052219 A069540 A062341
6 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150, … A052220 A062768
7 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 106, 115, 124, 133, 142, … A052221 A063416 A062337
8 8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 107, 116, 125, 134, … A052222 A069543 A062343
9 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 108, 117, 126, 135, … A052223
10 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 109, 118, 127, 136, … A052224 A218292 A107579
11 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, 119, 128, 137, 146, 155, … A166311 A216995 A106754
12 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93, 129, 138, 147, 156, 165, … A235151

数字和为特定数的最小自然数,即上表中,每行的第一个数构成的数列,为清除重复项后的月三角数(lunar triangular numbers)[8]

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 299, 399, …(OEIS数列A051885

相关数列

数字和可以视为将一数的每个位数视为单一元素并进行统计运算的操作,其他类似地如数字平方和、数字平均(即一数所有位数的平均值,OEISA061383中则记载了数字平均为整数的数)等。

数字差
一个整数数字差,是将一数在特定记数系统中的每一个位数两两间插入减号得到的结果。例如,84001在十进制的数字差是
在十进制中,从1开始的前几个数的数字差为:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, 2, 1.... (OEIS数列A274580
部分数字数字差为零。数字差为零意味着最高位数等于非最高位数的和,这些数包括:
0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 110, 202, 211, 220.... (OEIS数列A193772
趣味数学中,数字差的相反数可以视为负整数数字和的一种定义。在这种定义下,有一类数为数字和平方与自身的和大于零的数,虽然所有非负整数皆有此种性质(OEIS数列A118881),然而负整数中只有26个数有此种性质,在部分非正式场合中被称为僵尸数[3],其被描述为“如僵尸般起死回生(转为非负整数)的数”[3]。在十进制中,所有拥有此性值的数,共26个,列举如下:
-2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -15, -16, -17, -18, -19, -28, -29, -159, -168, -169, -178, -179, -187, -188, -189, -197, -198, -199。(OEIS数列A328933
数字积
一个整数数字积,是将一数在特定记数系统中的每一个位数相乘起来所得的积。例如,841在十进制中的数字积是。在十进制中,从零开始的前几个数的数字积为:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 2, 4, 6, 8...(OEIS数列A007954
数字幂
一个整数数字幂,是将一数在特定记数系统中的每一个位数写成指数塔的结果。例如,324在十进制中的数字幂是
在十进制中,从1开始的前几个数的数字幂为:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683.... (OEIS数列A256229
这个数列有另一种可能的定义,如果是左结合的数字幂,则会在三位数开始出现不同的结果,例如324的左结合数字幂是[9]
数字交错和
一个整数数字交错和为将整数的位数以a - b + c - d + ...的形式交错地相加或相减的结果。例如,841在十进制中的数字交错和是。在十进制中,从零开始的前几个自然数的数字交错和为:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, 2, 1...(OEIS数列A225693
若一数的数字交错和为0或11的倍数,则该数能被11整除。这个特性可以用于判别1数是否能被11整除[4][10]
数字平方和
一个整数数字平方和,是将一数在特定记数系统中的每一个位数平方后求和的结果。例如,841在十进制中的数字平方和是。在十进制中,从零开始的前几个整数之数字平方和为:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65...(OEIS数列A003132
其与一般的数字和有不太相同的特性:对于一数的数字和,并不断地将结果计算数字和最终会结束在一个数,该数称为数字根;而对于一数的数字平方和,并不断地将结果计算数字平方和,未必能结束在一个数。对于数字平方和无法结束在一个数的数,称为悲伤数(sad numbers)或不快乐数(unhappy number)[11] ,反之,称为快乐数[12]

参见

参考文献

  1. ^ Bush, L. E., An asymptotic formula for the average sum of the digits of integers, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1940, 47 (3): 154–156, JSTOR 2304217, doi:10.2307/2304217 .
  2. ^ Borwein, J. M.; Borwein, P. B., Strange series and high precision fraud (PDF), American Mathematical Monthly, 1992, 99 (7): 622–640 [2020-03-14], JSTOR 2324993, doi:10.2307/2324993, (原始内容存档 (PDF)于2016-05-09) .
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A328933 (Zombie Numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Stu Savory. Divisibility by prime numbers under 50. 2003 [2020-03-14]. (原始内容存档于2019-09-16). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Casting Out Nines. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-03-14] (英语). 
  6. ^ Bloch, R. M.; Campbell, R. V. D.; Ellis, M., The Logical Design of the Raytheon Computer, Mathematical Tables and Other Aids to Computation (American Mathematical Society), 1948, 3 (24): 286–295, JSTOR 2002859, doi:10.2307/2002859 .
  7. ^ Edgeworth, F. Y., The Mathematical Theory of Banking (PDF), Journal of the Royal Statistical Society, 1888, 51 (1): 113–127, (原始内容 (PDF)存档于2006-09-13) .
  8. ^ David Applegate and Marc LeBrun and N. J. A. Sloane, Dismal Arithmetic, arXiv, July 5, 2011 
  9. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A075877. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  10. ^ D. Sharpe and R. Webster. Reversing digits: divisibility by 27, 81, and 121. Mathematical Spectrum. 2012–2013,. Vol. 45 (Issue 2): 69–71. 
  11. ^ Weisstein, Eric W. (编). Sad Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2009-09-16]. (原始内容存档于2009-10-11) (英语). 
  12. ^ Guy, Richard. Unsolved Problems in Number Theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. 

外部链接