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斯图尔特定理
斯图尔特定理(英语:Stewart's Theorem),或译史都华定理、斯特瓦尔特定理、斯图沃特定理[来源请求],又称为阿波罗尼奥斯定理。它说明:
在三角形
的边
上任意取一点
,则:
。
该定理由苏格兰数学家马修·斯图尔特在1746年发表。这个定理以他的名字命名,来纪念他的贡献。[1]
证明
设a与p的交点为P。
对互补角APB和APC应用余弦定理,可得:
![{\displaystyle b^{2}=p^{2}+y^{2}-2py\cos {\theta }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f2c69346551e90e3e74f5386f2c3fa4fa129b89)
![{\displaystyle c^{2}=p^{2}+x^{2}+2px\cos {\theta }.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b2b159b0de01fe55087b5e1cad199aa51fa60c)
把第一个等式乘以x,把第二个等式乘以y :
![{\displaystyle xb^{2}=xp^{2}+xy^{2}-2pxy\cos {\theta }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e0256c20d49e0ee6055af15391a36ee0a6d8bf)
![{\displaystyle yc^{2}=yp^{2}+yx^{2}+2pxy\cos {\theta }.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a7509cad0a2f35c18f7d1f2ec6e160baa0c7fc)
两式相加,得:
![{\displaystyle xb^{2}+yc^{2}=(x+y)p^{2}+xy(x+y),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0eb77feeaceaa84e884f7067d9982406023bdf7)
证毕。
- ^ 存档副本. [2020-09-06]. (原始内容存档于2020-11-12).