测度空间是测度论的基本概念,可以看做是面积概念的推广,由一个基本的集合
以及基于这集合的某些子集合所构成的一个新的集合
,这新集合会满足 σ-代数的性质,直觉的讲,对
中的元素我们都可以用某种方法去“测量”其大小、面积或几率等,其真正意义要看所在空间
来决定。和一个定义在
上满足某些特别性质的(非负)函数
,也就是测度,测度空间就由这三部分,
,所构成。测度空间的一个实例是概率空间。
可测度空间(measurable space)包含前两部分但不含测度。
定义
一个测度空间包含三部分资讯
,且满足下列条件:[1][2]
为非空集合
为
上的一个 σ-代数,也就是满足某些条件的
中的一些子集构成的集合。
为
上的测度,换句话讲,是一个定义在
上的有特别性质的(非负)函数。
例子
对集合
![{\displaystyle X=\{0,1\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f68edc0f4982b3548aff72925102c4141638bdb)
取
![{\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8e761c6982317981d4ae94e02c613699d90a34)
定义
![{\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75bc7d20b7b8b697f29f551549fec168eea4c94)
则根据测度的可数可加性,
另根据测度的定义,
则
为一个测度空间。
本例中的测度对应于
的伯努利分布。
参见
参考文献