測度空間是測度論的基本概念,可以看做是面積概念的推廣,由一個基本的集合
以及基於這集合的某些子集合所構成的一個新的集合
,這新集合會滿足 σ-代數的性質,直覺的講,對
中的元素我們都可以用某種方法去「測量」其大小、面積或機率等,其真正意義要看所在空間
來決定。和一個定義在
上滿足某些特別性質的(非負)函數
,也就是測度,測度空間就由這三部分,
,所構成。測度空間的一個實例是概率空間。
可測度空間(measurable space)包含前兩部分但不含測度。
定義
一個測度空間包含三部分資訊
,且滿足下列條件:[1][2]
為非空集合
為
上的一個 σ-代數,也就是滿足某些條件的
中的一些子集構成的集合。
為
上的測度,換句話講,是一個定義在
上的有特別性質的(非負)函數。
例子
對集合
![{\displaystyle X=\{0,1\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f68edc0f4982b3548aff72925102c4141638bdb)
取
![{\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8e761c6982317981d4ae94e02c613699d90a34)
定義
![{\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75bc7d20b7b8b697f29f551549fec168eea4c94)
則根據測度的可數可加性,
另根據測度的定義,
則
為一個測度空間。
本例中的測度對應於
的伯努利分布。
參見
參考文獻