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相平面

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相平面(phase plane)是在应用数学(特别是非线性系统)中,视觉化的展示特定微分方程特征的方式。相平面是一个由二个状态变数为座标轴组成的平面,例如说(x, y)或(q, p)等。相平面是多维度相空间二维空间中的例子。

相平面法(phase plane method)是指用绘图的方式,来确认微分方程的解中是否存在极限环

微分方程的解可以形成函数族。用绘图的方式,可以画在二维的相平面上,类似二维的向量场。向量会表示某一点对应特定参数(例如时间)的导数,也就是(dx/dt, dy/dt),会绘制在对应的点上,以箭头表示。若有够多的点,就可以分析此区域内的系统行为,若有极限环,也可以识别出来。

整个场即可形成相图,在流线上的特定路径(一个永远和向量相切的路径)即为相路径(phase path)。向量场上的相表示微分方程所说明的系统随时间的演化。

相平面可以用来解析物理系统的行为,特别是振荡系统,例如猎食者-猎物模型英语predator-prey model(可参考洛特卡-沃尔泰拉方程)。这些模型中的相路径可能是向内旋转,慢慢趋近0,也可能是向外旋转,慢慢趋近无限大,或是接近中性的平衡位置,此情形称为centre,路径可能是圆形、椭圆或是其他形状。在判断其系统是否稳定时很有用[1]

另一个振荡系统的例子是一些多步的化学反应,其中有些会有化学平衡,不是完全反应。此情形下可以将反应物及生成物浓度(或质量)的变化利用微分方程来建模,可以对其化学动力学有更清楚的了解[2]

线性系统的例子

二维的线性微分方程系统可以写成以下的形式[1]

可以整理为矩阵方程式:

其中A是2 × 2的系数矩阵英语coefficient matrix,而x = (x, y)是二个自变量组成的座标向量英语coordinate vector

此系统可以解析求解,例如积分下式[3]

不过此解是xy隐函数,也不容易诠释[1]

用特征值求解

上述方程常见的解法是用右边矩阵型式的系数,利用特征值求解,利用以下的行列式求得:

以及以下的特征向量

特征值表示指数项的幂次,而特征向量为其系数。若将解写成代数型式,可以表示为几个指数项配合对应系数的和。因为特征向量的唯一性,每一个此方式得到的解会有待确定的系数c1, c2, ... cn.

通解为:

其中λ1和λ2是特征值,而(k1, k2), (k3, k4)是基础特征向量。系数c1c2和特征向量的唯一性有关,只有在初始条件已知时才能求解。

上述行列式可以得到以下的特征多项式

是以下型式的一元二次方程

其中;

("tr"表示矩阵的)以及

特征值的显式解可以由求得二次方程而得:

其中

特征向量及节点

特征向量及节点会决定相路径的轮廓,可以用图像来描绘动态系统的解,如下所述:

线性自治系统平衡点的分类[1]。若是非线性自治系统,进行线性化近似后也会有类似的分类

要画相平面时,会先画对应二个特征向量的直线(表示系统既不趋近直线,也不远离直线的稳定条件)。之后相平面就会用有箭头的实线代替有向量场上每点的箭头。特征值的正负号会影响的相平面的特点:

  • 若二个符号一正一负,特征向量的交点为鞍点
  • 若二个符号都为正,表示系统会远离特征向量,交点是不稳定节点
  • 若二个符号都为负,表示系统会趋向特征向量,交点是稳定节点。

以上说明可以用微分方程解中指数解的行为来理解。

重复的特征值

若是二个特征值为相同的实数,会需要透过一个未知的向量以及第一个特征向量来求解系数矩阵,产生第二个解。不过若系统对应,也可以用正交的特征向量来产生第二个解。

有虚部的特征值

有虚部的复数特征值,表示其解包括有[正弦]]及余弦函数(可以表示为幂次为复数的次数)。此情形比较简单,只需要一个特征值以及一个特征向量就可以产生系统的完整解。

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参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 D.W. Jordan; P. Smith. Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers 4th. Oxford University Press. 2007. ISBN 978-0-19-920825-8. 
  2. ^ K.T. Alligood; T.D. Sauer; J.A. Yorke. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. Springer. 1996. ISBN 978-0-38794-677-1. 
  3. ^ W.E. Boyce; R.C. Diprima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems需要免费注册 4th. John Wiley & Sons. 1986. ISBN 0-471-83824-1. 

外部链接