自由模

在抽象代数中，一个环 $R$ 上的自由模是带有基底的模。

定义

一个自由 $R$-模 $M$ 是 $R$-模范畴中的自由对象。具体言之，即存在一族元素 $\{m_{i}\}_{i\in I}$（可能有无限多个）使得：

• 任何 $m\in M$ 都可表成它们的线性组合 $m=\sum _{i\in I}r_{i}m_{i}$，其中只有有限个 $r_{i}$ 非零。
• 若 $\sum _{i\in I}r_{i}m_{i}=\sum _{i\in I}r_{i}'m_{i}$，则 $\forall i,\;r_{i}=r_{i}'$。

等价说法是：$M\simeq R^{I}$。此时 $\{m_{i}\}_{i\in I}$ 称作 $M$ 的一组基底。

性质

• $M$ 的秩可定义为 $I$ 的基数，与基底选取无关。
• 自由模皆是射影模，也是平坦模。
• 若接受选择公理，则任何除环上的模都是自由模，例如域上的向量空间。