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逆小波转换

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逆小波转换(inverse wavelet transform)为小波转换的反函数,小波转换大致分为三类

  1. 连续小波转换
  2. 离散变数连续小波转换
  3. 离散小波转换

分别介绍此三种的反函数

连续小波转换反函数

已知

则逆转换为

其中

证明:

由于

假设

经过傅立叶转换,原本的折积性质变为相乘

如果母小波为实函数,则其傅立叶转换有以下性质

(使用变数代换)

得证

离散变数连续小波转换反函数

的双效函数(dual function),满足以下正交(orthogonal)特性

或是

通常会设计成

因此离散变数连续小波转换能进行逆转换的条件为:

离散小波转换反函数

在这里解释的是如何重建(reconstruction)一个经过离散小波转换的函数

以进行一阶离散小波转换,升降频倍率为2为例,可以得到右图的架构

DWT reconstruction

需要满足一些条件才能使

将此流程进行Z转换及化简可得到:

因此为了得到,须满足以下二条件

可转换为

化简得到 其中

要满足上式须满足以下四个条件,此四条件及上式的关系为当且仅当

证明于参考条目中 因此只要符合上述条件就能将经过离散小波转换的重建为x[n]

相关条目

参考

  1. Jian-Jiun Ding (2014) Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform页面存档备份,存于互联网档案馆