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逆小波轉換

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逆小波轉換(inverse wavelet transform)為小波轉換的反函數,小波轉換大致分為三類

  1. 連續小波轉換
  2. 離散變數連續小波轉換
  3. 離散小波轉換

分別介紹此三種的反函數

連續小波轉換反函數

已知

則逆轉換為

其中

證明:

由於

假設

經過傅立葉轉換,原本的摺積性質變為相乘

如果母小波為實函數,則其傅立葉轉換有以下性質

(使用變數代換)

得證

離散變數連續小波轉換反函數

的雙效函數(dual function),滿足以下正交(orthogonal)特性

或是

通常會設計成

因此離散變數連續小波轉換能進行逆轉換的條件為:

離散小波轉換反函數

在這裡解釋的是如何重建(reconstruction)一個經過離散小波轉換的函數

以進行一階離散小波轉換,升降頻倍率為2為例,可以得到右圖的架構

DWT reconstruction

需要滿足一些條件才能使

將此流程進行Z轉換及化簡可得到:

因此為了得到,須滿足以下二條件

可轉換為

化簡得到 其中

要滿足上式須滿足以下四個條件,此四條件及上式的關係為若且唯若

證明於參考條目中 因此只要符合上述條件就能將經過離散小波轉換的重建為x[n]

相關條目

參考

  1. Jian-Jiun Ding (2014) Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform页面存档备份,存于互联网档案馆