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對稱化

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數學中,對稱化是將n元任意函數轉換為n對稱函數的過程。同樣,反對稱化n元任意函數轉換為反對稱函數。

二元

S集合A加法阿貝爾群。映射,若滿足以下條件,則稱其為對稱映射 若滿足以下條件,則稱其為反對稱映射

映射對稱化是映射 相似地,映射反對稱化斜對稱化是映射

映射的對稱化與反對稱化之和為因此,若2是可逆元,例如對實數,可以除以2並將每個函數表為對稱函數與反對稱函數之和。

對稱映射的對稱化是它的兩倍,交錯映射的對稱化是0;相似地,對稱映射的反對稱化是0,反對稱映射的反對稱化是它的兩倍。

雙線性形式

雙線性映射的(反)對稱化是雙線性的,因此若2是可逆元,雙線性形式是對稱形式與斜對稱形式之和,對稱形式與二次型之間沒有區別。 2時,並非所有形式都可分解為對稱形式與斜對稱形式。例如,整數上,相關的對稱形式(有理數上)可能取半整數值,而在上,若且唯若函數是對稱的(),才是斜對稱的。

這就引出了ε-二次型與ε-對稱形式的概念。

表示論

表示論的術語來說:

  • 交換變量可得對稱群在二元函數空間上的表示。
  • 對稱與反對稱函數是對應於平凡表示與符號表示的子表示
  • 對稱化與飯對稱化將函數映射到子表示中。若除以2,就會產生射影映射。

由於2階對稱群等於2階循環群),這相當於2階離散傅立葉變換

n

給定n元函數,可通過求所有變量的種排列所得值之和實現對稱化[1],通過求所有變量的偶排列所得值之和減去奇排列所得值之和實現反對稱化時唯一的排列是偶的)。

當中,對稱函數的對稱化是原函數乘以。因此若可逆,如特徵為0的上時,或,則這些函數除以會產生射影。

就表示論而言,這些只產生與平凡表示和符號表示相對應的子表示,但對於還有其他表示。

自助法

給定k元函數,對變量的k元素子集求和,可得n元對稱函數。統計學中,這被稱作自助法,相關統計量稱作U-統計量

另見

注釋

  1. ^ Hazewinkel (1990), p. 344

參考文獻