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擬群

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數學中,特別是抽象代數裡,擬群是一種類似於代數結構。擬群與群的相像之處是也能夠進行除法運算,但擬群中並沒有群所擁有的結合律。有單位元的擬群稱作么擬群或者(loop)。

定義

擬群的正規定義有兩種,分別帶有一種和三種二元運算

代數

一個擬群 (Q, *) 是一個集合 Q 與一個二元運算 * 的結合(即一個原群),滿足對 Q 中的任意元素 ab,都存在唯一的 Q 中元素 xy,使得:

這兩個唯一的元素被記作:x = a \ by = b / a。其中「\」 和 「/」分別表示被二元運算所定義的「左除法」和「右除法」。擬群的公理化需要用到存在量詞,因此也就需要建立在一階邏輯之上。

泛代數

擬群的第二個定義是建立在泛代數的背景中。泛代數希望代數結構為,也就是說其公理化過程應該只需要到等式的概念。在這樣的要求下,擬群被定義為:

一個擬群 (Q, *, \, /) 是一種 (2,2,2) 代數,其滿足等式:

  • y = x * (x \ y)
  • y = x \ (x * y)
  • y = (y / x) * x
  • y = (y * x) / x

因此如果 (Q, *) 是依據第一種定義的擬群,那麼 (Q, *, \, /) 則是其在泛代數範疇內對應的概念。

一個有單位元的擬群稱為一個么擬群或一個。這裡的單位元是指 Q 中元素 e 使得:

  • x*e = x = e*x

可以證明單位元 e 是唯一的,並且這時每一個 Q 中元素都有唯一的一個左逆元右逆元

例子

  • 每個都是圈,因為 a * x = b 若且唯若 x = a−1 * b,以及y * a = b 若且唯若 y = b * a−1
  • 整數集合 Z 以及其上的減法 (−) 構成擬群(但不構成半群)。
  • 所有非零的有理數的集合 Q* (或者所有非零實數構成的 R*)以及其上的除法 (÷) 構成一個擬群。
  • 所有特徵不為2的上的向量空間以及其上的二元運算 x * y = (x + y) / 2 構成了一個冪等交換的擬群。
  • 每個斯坦納三元系統都定義了一個冪等交換的擬群:其運算為將 a * b 對應到包含 ab 的三元數組的第三個元。
  • 集合{±1, ±i, ±j, ±k},其中ii = jj = kk = 1 並且其他運算同於四元群,構成了非結合的8元圈。
  • 非零八元數以及其上的乘法構成了一個圈,稱為Moufang圈.
  • 一般來說,一個可除代數上的所有非零元構成一個擬群。

性質

擬群具有可消去性:如果 ab = ac,那麼 b = c。同樣地,如果 ba = ca,那麼 b = c

左乘與右乘

擬群 Q 的定義說明擬群中的左乘變換和右乘變換:

都是 Q 到自身的雙射。原群 Q 是擬群若且唯若這兩個變換是雙射變換,而且它們的逆變換給出了右除和左除變換:

在這種標記下,擬群寫作:

拉丁方

一個有限擬群的乘法構成的乘法表是一個拉丁方:一個 n × n 的表格,每行每列都是 n 個不同的元素的排列,並且每個元素恰好出現在每一行和每一列各一次。

反之,每個拉丁方都可以以多種方式成為一個擬群的乘法表。

逆的性質

對於每個圈,圈中的每個元素都有左逆和右逆:

稱一個圈是雙邊可逆的,如果對圈所有的 x。 這時的擬元素一般簡記為

  • 一個圈有 左可逆性質,如果對所有的 都有 。同樣地, 或者
  • 一個圈有 右可逆性質,如果對所有的 都有 。 同樣地, 或者
  • 一個圈有 反自同構逆性質 ,如果 或者
  • 一個圈有 弱可逆性質,如果 若且唯若 。一個等價的敘述是對所有的 都有 或者

如果一個圈同時具有左可逆和右可逆性質,則稱其有 可逆性質。可逆的圈同時也擁有反自同構逆性質和弱可逆性質。實際上,滿足以上四個性質中任意兩個的圈都是可逆的,而滿足前三個性質之一的圈都是雙邊可逆的。

態射

一個擬群或圈同態是兩個擬群(圈)之間的映射:f : QP 滿足 f(xy) = f(x)f(y)。 擬群同態保持了左右除法以及單位元(如果有的話)。

同倫與同痕

QP 為擬群,一個從 QP擬群同倫 是一個從 QP 的映射三元組(α, β, γ) 使得對 Q 中所有的 x, y,有

三個映射都相同時,就是一個擬群同態。

一個同痕是使得 (α, β, γ) 中所有的三個映射都是雙射的擬群同倫。兩個擬群是同痕的若且唯若它們之間存在同痕映射。 在拉丁方中,三元組 (α, β, γ) 由第 α 和第 β 列的一個置換以及其餘集合上的一個置換 γ 給出。

一個自同痕是從 Q 射到自身的同痕。一個擬群的所有自同痕構成一個群。

每個擬群都與某個圈同痕。如果一個圈與某個群同痕,那麼它與此群同構,因此也為一個群。但是,如果一個擬群與某個群同痕,由於缺乏單位元,擬群本身不一定是群。比如說,實數集合 R 與其上的運算(x+y)/2 構成的擬群同痕於 R 上的加法群,但它本身不是群。

參見

參考來源

  • Akivis, M. A., and Goldberg, Vladislav V. (2001) "Solution of Belousov's problem," Discussiones Mathematicae. General Algebra and Applications 21: 93–103.
  • Bruck, R.H. (1958) A Survey of Binary Systems. Springer-Verlag.
  • Chein, O., H. O. Pflugfelder, and J. D. H. Smith, eds. (1990) Quasigroups and Loops: Theory and Applications. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-008-0.
  • Pflugfelder, H.O. (1990) Quasigroups and Loops: Introduction. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-007-2.
  • Smith, J.D.H. (2007) An Introduction to Quasigroups and their Representations. Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-537-8.
  • -------- and Anna B. Romanowska (1999) Post-Modern Algebra. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8.

外部連結