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指數分布

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特徵函數

機率論統計學中,指數分布(英語:Exponential distribution)是一種連續機率分布。指數分布可以用來建模平均發生率恆定、連續、獨立的事件發生的間隔,比如旅客進入機場的時間間隔、電話打進客服中心的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔、機器的壽命等。

記號

指數分布即形狀母數α為1的伽瑪分布

若隨機變數服從母數為的指數分布,則記作

兩者意義相同,只是互為倒數關係。只要將以下式子做的替換即可,即,指數分布之機率密度函數為:


累積分布函數為:


其中是分布的母數,即每單位時間發生該事件的次數;為比例母數,即該事件在每單位時間內的發生率。兩者常被稱為率母數(rate parameter)。指數分布的區間是[0,∞)。

特性

期望值與變異數

隨機變數X (X母數為λ或β) 的期望值是:

例如:如果你平均每個小時接到2次電話,那麼你預期等待每一次電話的時間是半個小時。

X變異數是:

X偏態係數是: V[X] = 1

無記憶性

指數函數的一個重要特徵是無記憶性(Memoryless Property,又稱遺失記憶性)。這表示如果一個隨機變數呈指數分布,它的條件機率遵循:

與卜瓦松過程的關係

卜瓦松過程是一種重要的隨機過程。卜瓦松過程中,第k次隨機事件與第k+1次隨機事件出現的時間間隔服從指數分布。而根據卜瓦松過程的定義,長度為t的時間段內沒有隨機事件出現的機率等於

,

長度為t的時間段內隨機事件發生一次的機率等於 , 所以第k次隨機事件之後長度為t的時間段內,第k+n次 (n=1, 2, 3,...)隨機事件出現的機率等於。這是指數分布。這還表明了卜瓦松過程的無記憶性。

四分位數

率母數λ的四分位數函數(Quartile function)是:

  • 第一四分位數:
  • 中位數
  • 第三四分位數:

因此,四分位距為ln(3)/λ

母數估計

最大概似法

給定獨立同分布樣本x = (x1, ..., xn),λ的概似函數(Likelihood function)是:

其中:

是樣本期望值値。

概似函數對數導數是:

母數λ的最大概似估計(Maximum likelihood)值是:

參見

參考文獻

  1. Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133
  2. Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401

外部連結