在量子力學裏,表達粒子的量子態的波函數必須滿足歸一條件(歸一化,或規範化,英語:be normalized),也就是說,在空間內,找到粒子的機率必須等於
。這性質稱為歸一性。用數學公式表達,
;
其中,
是粒子的位置,
是波函數。
歸一化導引
一般而言,波函數
是一個複函數。可是,
是一個實函數,大於或等於
,稱為「機率密度函數」。所以,在區域
內,找到粒子的機率
是
;(1) 。
既然粒子存在於空間,機率是
。所以,積分於整個一維空間:
。(2)
假若,從解析薛丁格方程式而得到的波函數
,其機率
是有限的,但不等於
,則可以將波函數
乘以一個常數,使機率
等於
。或者,假若波函數內,已經有一個任意常數,可以設定這任意常數的值,使機率
等於
。
實例
在一維空間內,束縛於區域
內的一個粒子,其波函數是
;
其中,
是波數,
是角頻率,
是任意常數。
計算能夠使波函數歸一化的常數值
。將波函數代入:
。
積分於整個粒子存在的區域:
。
稍加運算,
。
歸一化的波函數是:
。
薛丁格方程式的形式不變
薛丁格方程式為
;
其中,
是約化普朗克常數,
是位勢,
是能量。
將波函數
歸一化為
。則薛丁格方程式成為
![{\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}A{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)A\psi (x)=EA\psi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f02a80b5689be4103b20cc7d40a5a2034ef28268)
![{\displaystyle \Rightarrow A\left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)\right)=A\left(E\psi (x)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cf4a4e2d4469566997a1b7cfb302ed99e373174)
。
薛丁格方程式的形式不變。對於歸一化,薛丁格方程式是個不變式,因為薛丁格方程式是個線性微分方程式。
一個表達粒子量子態的波函數,必須滿足粒子的薛丁格方程式。既然
和
都能夠滿足同樣的薛丁格方程式,它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函數,則只能知道機率的相對大小;否則,使用歸一化的波函數,可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析,會提供許多便利。
歸一化恆定性
給予一個歸一化的波函數.隨著時間的變化,波函數也會改變.假若,隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件,則勢必要重新將波函數歸一化.這樣,歸一常數
變得含時間.很幸運地,滿足薛丁格方程式的波函數的歸一性是恆定的.設定波函數
滿足薛丁格方程式與歸一條件:
,
;
假若,歸一性是恆定的,則機率
不含時間。為了顯示這一點,先計算
:
。
展開被積函數
。
編排薛丁格方程式,可以得到波函數
對於時間的偏導數:
。
共軛波函數
對於時間的偏導數為
。
將
與
代入被積函數
。
代入
的方程式:
。
可是,在
,
與
都等於 0 .所以,
。
機率
不含時間。波函數的歸一化是恆定的。
參考文獻
- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7.
參閱
外部連結