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零空間

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線性代數
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣

數學中,一個算子 A零空間是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。它也叫做 A(核空間)。用集合建造符號表示為

儘管術語核更加常用,術語零空間有時用在避免混淆於積分變換的情境中。應當避免把零空間混淆於零向量空間,它是只有零向量的空間。

如果算子是在向量空間上的線性算子,零空間就是線性子空間。因此零空間是向量空間

例子

1. 考慮函數

它是一個線性映射,因為 。它的零空間由所有第一個和第二個坐標一致的向量組成,就是說描述了一條直線

2. 在一個線性空間中固定一個向量 並定義線性映射 為向量 點積。它的零空間由所有正交於 的向量,即 正交補組成。

性質

如果 A矩陣,它的零空間就是所有向量的空間的線性子空間。這個線性子空間的維度叫做 A零化度(nullity)。這可以計算為在矩陣 A列階梯形矩陣中不包含支點的縱行數。秩-零化度定理聲稱任何矩陣的加上它的零化度等於這個矩陣的縱行數。

對應於零奇異值A右奇異向量形成了 A 的零空間的

A 的零空間可以用來找到和表達方程 Ax = b 的所有解(完全解)。如果 x1 是這個方程的一個解,叫做特定解,那麼方程的完全解等於它的特定解加上來自零空間的任何向量。特定解依 b 而變化,而零空間的向量不是。

要證明這一點,我們考慮每個方向。在一個方向上,如果 Ay = b,且 Av = 0,則明顯的 A(y+v) = Ay+Av = b+0 = b。所以 y+v 也是 Ax=b 的解。在其他方向上,如果我們有對 Ax=b 的另一個解 z,則 A(zy) = AzAy = b−b = 0。所以向量 u = zyA 的零空間中而 z = y+u。所以任何解都可以表示為一個零空間中的向量加上特定解 y

如果一個線性映射 A單同態,則它的零空間是零。因為如果反過來它的零空間是非零,由類似上面的方法可以得出Ay = b的解不止一個,也就是說線性映射 A 不是單射了。

如果映射是零映射,則零空間同於映射的定義域。

找到一個矩陣的零空間

考慮矩陣

要找到它的零空間,須找到所有向量 使得 。首先把 變換成簡化列階梯形矩陣

若且唯若 。使用符號 ,後者方程變為

所以, 的零空間是一維空間,

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