泛函分析 中,C* -代數 (或讀作「C星代數」)是配備了滿足伴隨 性質的對合 的巴拿赫代數 。典型例子是滿足以下兩個性質的複 希爾伯特空間 上連續線性算子 的複 代數 A :
另一類非常重要的C* -代數包括X 上的復值連續函數代數
C
0
(
X
)
{\displaystyle C_{0}(X)}
,其中X 是局部緊 豪斯多夫空間 。
一般認為C* -代數主要是應用在量子力學 中可觀察量 的模型 代數中。這方面的研究始於1933年左右維爾納·海森堡 創立的矩陣力學 以及帕斯庫爾·約當 研究的更接近數學的形式。之後馮·諾依曼 在他的一系列關於算子環的論文中嘗試建立更廣泛的架構。這些論文可看做是一類特殊的C* -代數,現在稱為馮諾依曼代數 。
1943年前後,伊斯拉埃爾·蓋爾范德 和馬克·奈馬克 對C* -代數建立了不依賴於希爾伯特空間算子的抽象刻畫。
在當代數學研究中,C* -代數是局部緊群 的酉表示 理論的重要工具,在量子力學的代數架構中也有應用。另一個活躍的研究領域是對可分單核C* -代數 的分類以及確定分類的詳細可能性。
抽象刻畫
此處給出蓋爾范德和奈馬克1943年給出的定義。
C* -代數A 是複數域 上的巴拿赫代數 以及映射
∗
:
A
→
A
{\displaystyle {}^{*}:\ A\to A}
的組合。A 中元素x 關於映射* 的像記作x * 。映射擁有下列性質
∀
x
∈
A
{\displaystyle \forall x\in A}
,是對合 :
x
∗
∗
=
(
x
∗
)
∗
=
x
{\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}
∀
x
,
y
∈
A
:
{\displaystyle \forall x,\ y\in A:}
(
x
+
y
)
∗
=
x
∗
+
y
∗
{\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}
(
x
y
)
∗
=
y
∗
x
∗
{\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}
對任意複數
λ
∈
C
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
以及
∀
x
∈
A
{\displaystyle \forall x\in A}
:
(
λ
x
)
∗
=
λ
¯
x
∗
{\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}}
∀
x
∈
A
{\displaystyle \forall x\in A}
:
‖
x
∗
x
‖
=
‖
x
‖
‖
x
∗
‖
.
{\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|.}
備註 前四條等式表示A 是*-代數 。最後一條叫做C* 恆等式 ,等價於
‖
x
x
∗
‖
=
‖
x
‖
2
{\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2}}
有時也稱作B* -恆等式。這是很強的約束,舉例來說,結合譜半徑 公式可以推出C* –範數由以下代數結構唯一確定:
‖
x
‖
2
=
‖
x
∗
x
‖
=
sup
{
|
λ
|
:
x
∗
x
−
λ
1
{\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1}
不可逆
}
{\displaystyle \}}
給定的從C* -代數A 到B 的有界線性算子
π
:
A
→
B
{\displaystyle \pi :A\to B}
被稱為*-同態 ,如果
∀
x
,
y
∈
A
{\displaystyle \forall x,\ y\in A}
:
π
(
x
y
)
=
π
(
x
)
π
(
y
)
{\displaystyle \pi (xy)=\pi (x)\pi (y)}
∀
x
∈
A
{\displaystyle \forall x\in A}
:
π
(
x
∗
)
=
π
(
x
)
∗
{\displaystyle \pi (x^{*})=\pi (x)^{*}}
在C* -代數的情形中,任何*-同態都是壓縮 ,即範數 ≤ 1而有界。此外,C* -代數之間的單射*-同態都等距 。這些都來自C* 恆等式。
雙射*-同態π 稱作C*-同構 ,其中稱A 、B'同構 。
歷史:B*-代數與C*-代數
B*-代數由C. E. Rickart於1946年引入,用於描述滿足以下條件的巴拿赫*-代數 :
對給定B*-代數中所有x :
‖
x
x
∗
‖
=
‖
x
‖
2
{\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert ^{2}}
(B*-條件)
這條件意味著*-對合等距,即
‖
x
‖
=
‖
x
∗
‖
{\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }
。於是,
‖
x
x
∗
‖
=
‖
x
‖
‖
x
∗
‖
{\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert \lVert x^{*}\rVert }
,B*-代數也是C*-代數。反過來看,C*-條件能推出B*-條件。這不是平凡的,但無需用
‖
x
‖
=
‖
x
∗
‖
{\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }
即可證明。[ 1] 於是,B*-代數在目前術語已很少使用,取而代之是C*-代數。
C*-代數由I. E. Segal於1947年引入,用於描述
B
(
H
)
{\displaystyle B(H)}
的在範數拓撲下閉的子代數,即某希爾伯特空間H 上有界算子的空間。C代表封閉(Closed)。[ 2] [ 3] Segal在論文中將C*-代數定義為「希爾伯特空間上有界算子的一致閉自伴代數」。[ 4]
C*-代數的結構
C*-代數有大量技術上很方便的性質,其中一些可通過連續泛函微積分或還原為交換C*-代數來建立。後者時,我們可以利用其結構由蓋爾范德同構 決定這一事實。
自伴元
自伴元是滿足
x
=
x
∗
{\displaystyle x=x^{*}}
的元素。形式為
x
∗
x
{\displaystyle x^{*}x}
的C*-代數A 的元素集形成閉凸錐 ,與
x
x
∗
{\displaystyle xx^{*}}
形式元素相同。錐的元素被稱作非負元(或正元素,與ℝ中元素的術語相衝突)。
C*-代數A 的自伴元集自然具有偏序 向量空間 結構,通常用
≥
{\displaystyle \geq }
表示。其中,自伴元素
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
,若且唯若x 的譜 非負,若且唯若
s
∈
A
{\displaystyle s\in A}
,有
x
=
s
∗
s
{\displaystyle x=s^{*}s}
,能滿足
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
。兩自伴元
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,\ y\in A}
若滿足
x
−
y
≥
0
{\displaystyle x-y\geq 0}
,則
x
≥
y
{\displaystyle x\geq y}
。
這個偏序子空間允許在C*-代數上定義正線性泛函,進而定義C*-代數的態 ,進而利用GNS構造 ,構造C*-代數的譜。
商與近似單位
C*-代數A 都有近似單位 。A 有自伴元有向族
{
e
λ
}
λ
∈
I
{\displaystyle \{e_{\lambda }\}_{\lambda \in I}}
使得
x
e
λ
→
x
{\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x}
0
≤
e
λ
≤
e
μ
≤
1
whenever
λ
≤
μ
.
{\displaystyle 0\leq e_{\lambda }\leq e_{\mu }\leq 1\quad {\mbox{ whenever }}\lambda \leq \mu .}
A 若可分,則有序列近似單位(sequential approximate identity)。更一般地,若且唯若A 包含嚴格正元 ,即正元素h 使
h
A
h
{\displaystyle hAh}
在A 中稠密,A 才有序列近似單位。
運用近似單位,可證明C*-代數對具有自然範數的閉緊合雙側理想 的代數商 仍是C*-代數。
同樣,C*-代數的閉雙側理想也是C*-代數。
譜
C*-代數 A 的譜 記作
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
,是A 的不可還原*-表示。A 在希爾伯特空間 H 上的*-表示
π
{\displaystyle \pi }
,若且唯若H 與
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
之外沒有閉子集K (即非平凡閉子集)能在
∀
x
∈
A
,
π
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in A,\ \pi (x)}
下不變時,稱
π
{\displaystyle \pi }
是不可還原的。我們隱式地假定,不可還原表示指非空的不可還原表示,從而排除了1維空間上的平凡表示(恆為0)。如下所述,譜
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
自然也是拓撲空間 ,這與環的譜 類似。
這概念最重要的應用之一是為局部緊 群提供對偶 對象的概念。這種對偶對象適用於為I型么模可分 局部緊群應用傅立葉變換 和普朗歇爾定理 ,以及為I型可分局部緊群的任意表示提出分解定理。然而由此產生的局部緊群對偶理論比緊拓撲群的淡中–克萊因對偶性 或局部緊阿貝爾群的龐特里亞金對偶性 更弱,後兩者都是完全不變量。由於任何有限維全矩陣代數
M
n
(
C
)
{\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}
的對偶都由一個點組成,因此對偶不是完全不變量也就不難理解了。
主譜
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
的拓撲 可有多種等價的定義方式。首先用主譜 定義。
A 的主譜是A 的主理想 集
P
r
i
m
(
A
)
{\displaystyle {\rm {Prim}}(A)}
,主理想指非零不可還原*-表示的核。主理想集是具有殼-核拓撲 (hull-kernel topology,或雅各布森拓撲 )的拓撲空間 ,定義如下:若X 是主理想集,其殼-核閉包 是
X
¯
=
{
ρ
∈
Prim
(
A
)
:
ρ
⊇
⋂
π
∈
X
π
}
.
{\displaystyle {\overline {X}}=\left\{\rho \in \operatorname {Prim} (A):\rho \supseteq \bigcap _{\pi \in X}\pi \right\}.}
很容易證明殼-核閉包是一種冪等 運算,即
X
¯
¯
=
X
¯
,
{\displaystyle {\overline {\overline {X}}}={\overline {X}},}
可以證明其滿足庫拉托夫斯基閉包公理 ,因此可以證明
P
r
i
m
(
A
)
{\displaystyle {\rm {Prim}}(A)}
上有唯一的拓撲
τ
{\displaystyle \tau }
,使得關於
τ
{\displaystyle \tau }
的集合X 的閉包與X 的殼-核閉包完全相同。
由於么正等價表示具有相同的核,所以映射
π
↦
k
e
r
π
{\displaystyle \pi \mapsto {\rm {ker}}{\pi }}
通過滿射
k
:
A
^
→
Prim
(
A
)
.
{\displaystyle \operatorname {k} :{\hat {A}}\to \operatorname {Prim} (A).}
分解。我們用k 來定義
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
的拓撲:
定義 .
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
的開集是
P
r
i
m
(
A
)
{\displaystyle {\rm {Prim}}(A)}
的開子集U 的逆像
k
−
1
i
(
U
)
{\displaystyle k^{}-1i(U)}
。這便是拓撲。
殼-核拓撲是交換環的扎里斯基拓撲 在非交換環上的類似物。殼-核拓撲誘導的
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
上的拓撲還可用'A的態 描述。
例子
交換C*-代數
3維交換C*-代數及其理想。8個理想中的每個都對應離散3點空間的一個閉子集(或開補集),主理想對應閉單元集 。
交換C*-代數A 的譜與A 的蓋爾范德對偶 (注意不要與巴拿赫空間A 的對偶 A' 混淆)重合。具體來說,設X 是緊 豪斯多夫空間 ,則有自然 同胚
I
:
X
≅
Prim
(
C
(
X
)
)
.
{\displaystyle \operatorname {I} :X\cong \operatorname {Prim} (\operatorname {C} (X)).}
此映射的定義是
I
(
x
)
=
{
f
∈
C
(
X
)
:
f
(
x
)
=
0
}
.
{\displaystyle \operatorname {I} (x)=\{f\in \operatorname {C} (X):f(x)=0\}.}
其中
I
(
x
)
{\displaystyle I(x)}
是
C
(
X
)
{\displaystyle C(X)}
中的閉最大理想,也是主理想。對交換C*-代數,
A
^
≅
Prim
(
A
)
.
{\displaystyle {\hat {A}}\cong \operatorname {Prim} (A).}
有界算子的C*-代數
令H 維可分無窮維希爾伯特空間 。
L
(
H
)
{\displaystyle L(H)}
有兩個對范封閉的*-理想:
I
0
=
{
0
}
{\displaystyle I_{0}=\{0\}}
與緊算子的
K
=
K
(
H
)
{\displaystyle K=K(H)}
。因此作為集合,
P
r
i
m
(
L
(
H
)
)
=
{
I
0
,
K
}
{\displaystyle {\rm {Prim}}(L(H))=\{I_{0},\ K\}}
。現在
{
K
}
{\displaystyle \{K\}}
是
P
r
i
m
(
L
(
H
)
)
{\displaystyle {\rm {Prim}}(L(H))}
的閉子集。
{
I
0
}
{\displaystyle \{I_{0}\}}
的閉包是
P
r
i
m
(
L
(
H
)
)
{\displaystyle {\rm {Prim}}(L(H))}
。
因此
P
r
i
m
(
L
(
H
)
)
{\displaystyle {\rm {Prim}}(L(H))}
是非豪斯多夫空間。
另一方面,
L
(
H
)
{\displaystyle L(H)}
的譜要大得多。有很多核為
K
(
H
)
{\displaystyle K(H)}
或
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
的不等價不可還原表示。
有限維C*-代數
設A 是有限維C*-代數。已知A 同構於全矩陣代數的有限直和:
A
≅
⨁
e
∈
min
(
A
)
A
e
,
{\displaystyle A\cong \bigoplus _{e\in \operatorname {min} (A)}Ae,}
其中
m
i
n
(
A
)
{\displaystyle {\rm {min}}(A)}
是A 的最小中心投影。A 的譜與
m
i
n
(
A
)
{\displaystyle {\rm {min}}(A)}
在離散拓撲 上規範同構。對有限維C*-代數,也有同構
A
^
≅
Prim
(
A
)
.
{\displaystyle {\hat {A}}\cong \operatorname {Prim} (A).}
譜的其他特徵
殼-核拓撲很容易抽象表述,但實際上,對與局部緊 拓撲群 相關聯的C*-代數,需要用正定函數描述譜上拓撲的其他特徵。實際上,
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
上的拓撲與表示的弱包含密切相關,如下:
定理 . 令
S
⊆
A
^
{\displaystyle S\subseteq {\hat {A}}}
。則對不可還原表示
π
{\displaystyle \pi }
,下列條件等價:
π
{\displaystyle \pi }
在
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
中的等價類位於S 的閉包中;
與
π
{\displaystyle \pi }
相關的每個態,即形式為
f
ξ
(
x
)
=
⟨
ξ
∣
π
(
x
)
ξ
⟩
{\displaystyle f_{\xi }(x)=\langle \xi \mid \pi (x)\xi \rangle }
且
‖
ξ
‖
=
1
{\displaystyle \lVert \xi \rVert =1}
,是與S 中的表示相關聯的態的弱極限。
第二個條件意味著
π
{\displaystyle \pi }
弱包含於S 中。
GNS構造 將C*-代數A 的態與A 的表示相關聯。據與GNS構造相關的基本定理之一,對態f ,若且唯若相關表示
π
f
{\displaystyle \pi _{f}}
不可約,f 才是純的。此外,由
f
↦
π
f
{\displaystyle f\mapsto \pi _{f}}
定義的映射
κ
:
P
u
r
e
S
t
a
t
e
(
A
)
→
A
^
{\displaystyle \kappa :\ {\rm {PureState}}(A)\to {\hat {A}}}
是滿射。
根據前面的定理,很容易證明下面的內容:
定理 GNS構造給出的映射
κ
:
PureState
(
A
)
→
A
^
{\displaystyle \kappa :\operatorname {PureState} (A)\to {\hat {A}}}
是連續開映射。
I
r
r
n
(
A
)
{\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)}
空間
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
上的拓撲還有一種描述,即將表示空間視作具有具有適當點收斂拓撲的拓撲空間。詳細點說,令n 是基數,令
H
n
{\displaystyle H_{n}}
是n 維規範希爾伯特空間。
I
r
r
n
(
A
)
{\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)}
是A 在
H
n
{\displaystyle H_{n}}
中的不可約*-表示空間,具有點弱拓撲。就網的收斂性而言,此拓撲的定義是
π
i
→
π
{\displaystyle \pi _{i}\to \pi }
;若且唯若
⟨
π
i
(
x
)
ξ
∣
η
⟩
→
⟨
π
(
x
)
ξ
∣
η
⟩
∀
ξ
,
η
∈
H
n
x
∈
A
.
{\displaystyle \langle \pi _{i}(x)\xi \mid \eta \rangle \to \langle \pi (x)\xi \mid \eta \rangle \quad \forall \xi ,\eta \in H_{n}\ x\in A.}
事實證明,
I
r
r
n
(
A
)
{\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)}
上的這種拓撲,結構與點強拓撲相同,即若且唯若
π
i
(
x
)
ξ
→
π
(
x
)
ξ
normwise
∀
ξ
∈
H
n
x
∈
A
{\displaystyle \pi _{i}(x)\xi \to \pi (x)\xi \quad {\mbox{ normwise }}\forall \xi \in H_{n}\ x\in A}
有
π
i
→
π
{\displaystyle \pi _{i}\to \pi }
。
定理 . 令
A
^
n
{\displaystyle {\hat {A}}_{n}}
為
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
的子集,由底希爾伯特空間是n 維的的表示的等價類組成。規範映射
I
r
r
n
(
A
)
→
A
^
n
{\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)\to {\hat {A}}_{n}}
是連續開的。特別是,
A
^
n
{\displaystyle {\hat {A}}_{n}}
可視作
I
r
r
n
(
A
)
{\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)}
在么正等價下的商拓撲空間。
備註 . 將不同的
A
^
n
{\displaystyle {\hat {A}}_{n}}
拼湊在一起可能相當複雜。
麥基–博雷爾結構
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
是拓撲空間,因此也可視作博雷爾空間 。喬治·麥基(G. Mackey)提出了一個著名猜想:若且唯若博雷爾空間是標準的,即(在博雷爾空間範疇中)與完全可分度量空間的底博雷爾空間同構時,稱可分局部緊群是I型的。麥基稱具有這一性質的博雷爾空間為光滑空間。詹姆斯·格利姆 在1961年證明了此猜想。
定義 . 可分C*-代數A 的非退化*-表示
π
{\displaystyle \pi }
,若且唯若
π
(
A
)
{\displaystyle \pi (A)}
生成的馮諾依曼代數中心是1維時,稱其是因子表示 (factor representation)。若且唯若C*-代數A 的任意可分因子表示是不可還原因子表示的有限倍或可數倍時,稱其屬於I型。
C
∗
(
G
)
{\displaystyle C*(G)}
為I型的可分局部緊群G 的例子如連通(實)冪零 李群 和連通實半單 李群。因此,海森堡群 都是I型的。緊群和阿貝爾群也都是I型的。
定理 . 若A 可分,則若且唯若A 是I型時,
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
光滑。
這個結果對可分I型C*-代數及相應的可分I型局部緊群的表示結構進行了意義深遠的概括。
代數主譜
由於C*-代數A 是環 ,所以也可考慮A 的主理想 集。對一個環,若且唯若理想是單模 的零化子 時,此理想才是主理想。對C*-代數A ,若且唯若一個理想是上述定義意義上的主理想時,它才是代數上的主理想。
定理 . 令A 是C*-代數。A 在復向量空間上的不可還原表示,在代數上等價在希爾伯特空間的拓撲上不可還原的*-表示。若且唯若它們么正等價時,希爾伯特空間上的拓撲不可還原*-表示在代數上同構。
若G 是局部緊群,則G 的群C*-代數
C
∗
(
G
)
{\displaystyle C^{*}(G)}
的對偶空間上的拓撲稱作費爾拓撲 ,得名於J. M. G. Fell。
例子
有限維C*-代數
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
上n 階方陣的代數
M
(
n
,
C
)
{\displaystyle M(n,\ \mathbb {C} )}
,若將方陣看做歐氏空間
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
上的算子,並在方陣上使用算子範數 ||·||,則
M
(
n
,
C
)
{\displaystyle M(n,\ \mathbb {C} )}
就變成了C*-代數;對合由共軛轉置 給出。更一般地,可以考慮矩陣代數的有限直和 。事實上,所有作為向量空間有限維的C*-代數在同構的意義上都是這種形式。自伴要求意味著有限維C*-代數是半單代數 ,由此可推出下面的阿廷-韋德伯恩定理 :
定理 有限維C*-代數A 規範 地同構於有限直和
A
=
⨁
e
∈
min
A
A
e
{\displaystyle A=\bigoplus _{e\in \min A}Ae}
其中min A 是A 的最小非零自伴中心投影集。
C*-代數Ae 與全矩陣代數
M
(
d
i
m
(
e
)
,
C
)
{\displaystyle M({\rm {dim}}(e),\ \mathbb {C} )}
同構(非規範)。
{
d
i
m
(
e
)
}
e
{\displaystyle \{{\rm {dim}}(e)\}_{e}}
給出的minA 上的有限族索引稱作A 的維向量,唯一確定了有限維C*-代數的同構類。用算子K理論 的話說,這向量是A 的
K
0
{\displaystyle K_{0}}
群的正錐 。
†-代數 (更確切地說,†-封閉代數 )是物理學 中偶爾使用的名稱,指有限維C*-代數。[ 5] 劍標 †在物理學中常用於表示埃爾米特伴隨 ,且通常不關注與無窮維相關的微妙問題。數學中通常用星號*表示埃爾米特伴隨。†-代數在量子力學 ,特別是量子信息科學 中有重要地位。
有限維C*-代數的一個直接推廣是近似有限維C*-代數 。
算子的C*-代數
C*-代數的典型例子是定義在復希爾伯特空間 H 上的有界(等價於連續)線性算子 的代數
B
(
H
)
{\displaystyle B(H)}
,其中x* 表示算子
x
:
H
→
H
{\displaystyle x:\ H\to \ H}
的伴隨算子 。事實上,對合適的希爾伯特空間H ,所有C*-代數A 都*-同構於
B
(
H
)
{\displaystyle B(H)}
的閉范伴隨閉子代數,這就是蓋爾范德-奈馬克定理 。
緊算子的C*-代數
設H 為可分 無窮維希爾伯特空間,則H 上緊算子代數
K
(
H
)
{\displaystyle K(H)}
是
B
(
H
)
{\displaystyle B(H)}
的閉范 子代數。它在對合下也封閉,因此是C*-代數。
緊算子的具體C*-代數具有類似於Wedderburn有限維C*-代數定理的特徵:
定理 設A 是
K
(
H
)
{\displaystyle K(H)}
的C*-子代數,則存在希爾伯特空間
{
H
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{H_{i}\}_{i\in I}}
,使
A
≅
⨁
i
∈
I
K
(
H
i
)
,
{\displaystyle A\cong \bigoplus _{i\in I}K(H_{i}),}
其中(C*-)直和包含笛卡兒積
Π
K
(
H
i
)
{\displaystyle \Pi K(H_{i})}
的元素
(
T
i
)
,
|
|
T
i
|
|
→
0
{\displaystyle (T_{i}),\ ||T_{i}||\to 0}
</math>。
雖然
K
(
H
)
{\displaystyle K(H)}
沒有么元,但可以為
K
(
H
)
{\displaystyle K(H)}
建立一個序列近似單位 ,具體來說H 同構於平方可和序列
I
2
{\displaystyle I^{2}}
空間;不妨令
H
=
I
2
{\displaystyle H=I^{2}}
。對每個自然數n ,令
H
n
{\displaystyle H_{n}}
為項
k
≥
n
{\displaystyle k\geq n}
時為零的
I
2
{\displaystyle I^{2}}
序列的子空間,令
e
n
{\displaystyle e_{n}}
為到
H
n
{\displaystyle H_{n}}
的正交投影。則,序列
{
e
n
}
n
{\displaystyle \{e_{n}\}_{n}}
是
K
(
H
)
{\displaystyle K(H)}
的近似單位。
K
(
H
)
{\displaystyle K(H)}
是
B
(
H
)
{\displaystyle B(H)}
的雙側閉理想。對可分希爾伯特空間,是唯一理想。商
B
(
H
)
/
K
(
H
)
{\displaystyle B(H)/K(H)}
稱作卡爾金代數 。
交換C*-代數
令X 為局部緊 豪斯多夫空間,其上在無窮遠處為零的復值連續函數空間
C
0
(
X
)
{\displaystyle C_{0}(X)}
在逐點乘與加法下形成交換C*-代數
C
0
(
X
)
{\displaystyle C_{0}(X)}
。對合是逐點共軛。若且唯若X 緊時,
C
0
(
X
)
{\displaystyle C_{0}(X)}
有乘法單位元。與其他C*-代數一樣,
C
0
(
X
)
{\displaystyle C_{0}(X)}
有近似單位 ;對
C
0
(
X
)
{\displaystyle C_{0}(X)}
這是直接的:考慮X 的緊子集直和,對每個緊K ,令
f
K
{\displaystyle f_{K}}
為緊支撐函數, 且在K 上等於1。根據適用於局部緊豪斯多夫空間的蒂策擴張定理 ,這樣的函數是存在的。這樣的函數序列
{
f
K
}
{\displaystyle \{f_{K}\}}
都是近似單位。
蓋爾范德表示 指出,交換C*-代數*-同構於代數
C
0
(
X
)
{\displaystyle C_{0}(X)}
,其中X 是具備弱*拓撲 的特徵標 空間。此外,若
C
0
(
X
)
{\displaystyle C_{0}(X)}
同構 於C*-代數
C
0
(
Y
)
{\displaystyle C_{0}(Y)}
,則X 、Y 同胚 。這一特徵是非交換拓撲 與非交換幾何 綱領的動機之一。
C*-包絡代數
給定巴拿赫*-代數A ,具有近似單位 ,則有(在C*-同構意義上)唯一的C*-代數
E
(
A
)
{\displaystyle \mathbb {E} (A)}
與萬有 的*-態射
π
:
A
→
E
(
A
)
{\displaystyle \pi :\ A\to \mathbb {E} (A)}
,即其他連續*-態射
π
:
A
→
B
{\displaystyle \pi :\ A\to B}
因子都唯一地通過π。代數
E
(
A
)
{\displaystyle \mathbb {E} (A)}
稱作巴拿赫*-代數A 的C*-包絡代數 。
局部緊群G 的C*-代數尤為重要,定義為G 的群代數的包絡C*-代數。G 的C*-代數提供了非阿貝爾情形下的一般調和分析 ,特別是,局部緊群的對偶定義為群C*-代數的主理想空間。
馮諾依曼代數
馮諾依曼代數 在1960年代以前稱作W*-代數,是一類特殊的C*-代數。它們需要在弱算子拓撲 下封閉,這比範數拓撲更弱。
謝爾曼–武田定理 表明,C*-代數都有泛包絡W*-代數,使到W*-代數的任意同態都通過它。
C*-代數的種類
令A 為C*-代數。A 是I類,若且唯若對A 的所有非退化表示π,
π
(
A
)
″
{\displaystyle \pi (A)''}
(即
π
(
A
)
{\displaystyle \pi (A)}
的雙交換子)是I類馮諾依曼代數。實際上,只需考慮因子表示,即
π
(
A
)
″
{\displaystyle \pi (A)''}
是因子的表示。
局部緊群屬於I類,若且唯若其群C*-代數是I類。
不過,若C*-代數具有非I類表示,則根據詹姆斯·格利姆 的結果,它也有II類、III類的表示。因此,對C*-代數和局部緊群,只有I類和非I類的說法才有意義。
C*-代數與量子場論
量子力學 中,通常用有單位元的C*-代數A 描述物理系統;A 的自伴元(
∀
x
∈
A
,
x
∗
=
x
{\displaystyle \forall x\in A,\ x^{*}=x}
)被視為系統的可觀測值。系統狀態定義為A 上的正泛函(
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
線性映射
φ
:
A
→
C
,
∀
u
∈
A
,
φ
(
u
∗
u
)
≥
0
{\displaystyle \varphi :\ A\to \mathbb {C} ,\ \forall u\in A,\ \varphi (u^{*}u)\geq 0}
),使得
φ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \varphi (1)=1}
。若系統處於φ狀態,則可觀測值x 的期望值為φ(x )。
局部量子場論 的Haag-Kastler公理化使用了這C*-代數方法,閔可夫斯基時空 的開集都與一個C*-代數相關聯。
另見
腳註
參考文獻
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