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中心化子和正规化子

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群论


群论中,一個 子集 中心化子(英語:Centralizer 中與所有 的元素滿足交換律的元素組成的集合; 正规化子(英語:Normalizer 中使 關於 共軛類等於 的元素 組成的集合,此條件較上述中心化子的條件弱。

中心化子和正規化子都是 子群。它们分别給出對 的元素和 整體的限制。對某些子集 ,这些子群能夠給出關於群 结构的信息。

定義

中心化子

為一個群, 的一個子集,我們定義一個由 中與每一個 的元素 可交換的元素組成的集合,記做 ;換言之,

的子群且 ,則

特別的,當 單元素集合 時,我們會將其中心化子簡寫為

群的中心

中心 ,通常记作 。一个群的中心既是正规子群也是交换群,而且有很多其它重要属性。我们可以将 的中心化子视作 中最大(用包含关系作為比較大小的依據)的子群 ,使得 属于其中心

正规化子

中的正规化子记作 。正规化子定义为 。同样的是, 的子群。

正规化子得名于 中包含由 正规子群的最大子群,其中 是由 生成的子群。

包括 為其正规子群的最小的 的子群称为共軛閉包

如果 ,则子群 称为 自正规化子群

性质

交换群,则任何 的子集的中心化子和正规化子都包含 所有的元素;特别地,一个群可交换,当且仅当

的任意元素,则 中当且仅当 中,这又亦等價於 可交换( )。

單元素集合 ,则

总是 的正规子群:若 属于 属于 ,我们需要证明 属于 。 为此,取 属于 并令 。则 属于 ,所以 。注意到 ;以及 。我们有

这也就是要证明的命题。

HG的子群,则N/C定理表明因子群N(H)/C(H)同构于Aut(H)(H自同构群)的子群。

因为NG(G) = G,N/C定理也意味着G/Z(G)同构于Inn(G)(由所有G内自同构组成的Aut(G)的子群)。

如果我们通过T(x)(g) = Tx(g) = xgx −1定义群同态 T : G → Inn(G),则我们可以用Inn("G")在G上的群作用来表述N(S)和C(S):S在Inn(G)中的定点子群就是T(N(S)),而Inn(G)中固定S的子群就是T(C(S))。

共軛類方程

为有限群,考慮 共軛到自身的群作用,並應用軌道-穩定點定理

G的

G的軌道

類方程