马施克定理

Heinrich Maschke

在代数中，马施克定理是有限群表示论中基本的定理之一。

定理

若$V$是域$K$上的有限维线性空间，$(V,\rho )$是有限群$G$的表示, $U_{0}$是$V$的$G$不变子空间, $K$的特征不能整除$G$的阶，

则存在$V$中的$G$不变子空间$W$，使得$V=W\oplus U_{0}$，从而$(V,\rho )$是完全可约的。

证明

$U_{0}$是$V$的子空间，所以存在$U_{0}$在$V$中的补空间$W_{0}$，及投影$P_{0}$, $Q_{0}$，使得

$U_{0}=P_{0}V$

$W_{0}=Q_{0}V$

$P_{0}^{2}-P_{0}=Q_{0}^{2}-Q_{0}=P_{0}Q_{0}=Q_{0}P_{0}=0$

$P_{0}+Q_{0}=1$

由条件“$K$的特征不能整除$G$的阶”，令$N=|G|$，则$N$是域$K$中的可逆元。

定义新的投影算子

$P=N^{-1}\sum _{g\in G}gP_{0}g^{-1}$

$Q=N^{-1}\sum _{g\in G}gQ_{0}g^{-1}$

则

$P+Q=1$

$P^{2}=P$

$Q^{2}=Q$

$PQ=QP=0$

于是

$V=U\oplus W$

其中 $U={\textrm {Im}}{P}$， $W={\textrm {Im}}{Q}$

由$P$的定义 $U={\textrm {Im}}P\subseteq U_{0}$

另一方面可以直接验证 $\forall u=P_{0}v\in U_{0},Qu=QP_{0}v=0$ 从而 $U_{0}\subseteq {\textrm {Ker}}Q={\textrm {Im}}P=U$

故 $U=U_{0}$

$V=U_{0}\oplus W$

注意到$\forall g\in G,gQ=Qg$

$W$是$G$不变子空间。

证毕。

参考

• 丘维声. 有限群和紧群的表示论 (PDF). 北京大学出版社. 1997: 21.