單項式

数学上的單項式（英語：Monomial）是指只有一項的多項式。如 $x^{2}$ 、 $x$ 都是單項式。

單項式有兩種不同的定義：

單項式，也稱為冪乘積，是各變數自然数幂次的乘積，也可以說是變數之間的乘積，變數可能會重複出現，例如 $x^{2}yz^{3}=xxyzzz$ 即為單項式。常數 $1$ 也是單項式，等於空积，也等於 $x^{0}$ ， $x$ 可以對應任意變數。若只考慮單變數 $x$ ，則其單項式可能是 $1$ 或是 $x$ 的幂次 $x^{n}$ ，其中 $n$ 為正整數。若考慮多個變數，如 $x,y,z,$ ，每一個變數都可能有其幂次，因此單項式會是 $x^{a}y^{b}z^{c}$ ，其中 $a,b,c$ 是非負整數^{[註 1]}。
單項式也可以是上述定義的單項式，乘以一個非零的常數，稱為單項式的係數。第一種定義下的單項式是這種定義當中，係數為 $1$ 的特例。例如 $-7x^{5}$ 和 $(3-4i)x^{4}yz^{13}$ 都是單項式（第二例中，變數是 $x,y,z,$ ，且其係數是复数）。

若在討論洛朗多項式（英语：Laurent polynomial）和洛朗级数時，單項式的幂次可以是負數，若在討論皮瑟級數（英语：Puiseux series）時，幂次可以是有理数。

二種定義的比較

在上述兩種定義中，單項式都是多項式中的子集，且具有乘法封閉性。

在文獻中這兩種定義都有出現，在許多應用中可以忽略這兩種定義之間的差異，這裡有些第一個定義^[1]，以及第二個定義的例子^[2]。在非正式的討論中不太需要區分其差異。一般是傾向使用範圍較廣的第二個定義。不過在研究多項式結構時，一般會需要用到第一個定義。例如在考慮多项式环的單項基函數（英语：monomial basis），或是此一基底的単項式順序（英语：monomial order）。

以下的「單項式」會以上述的第一個定義為準。

單項基函數

所有的多項式都是單項式的線性組合，因此形成多項式向量空间的基，稱為單項基函數（monomial basis）。

標示

在偏微分方程中常需要標示單項式。若用的變數是像 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , ...之類用下標區隔的變數，則可以用多重指标表示，例如

\alpha =(a,b,c)

可以定義

x^{\alpha }=x_{1}^{a}\,x_{2}^{b}\,x_{3}^{c}

以簡化標示。

注释

^ 其中若指數為 $0$ ，對應的幂次乘積會等於1

參考資料

^ Cox, David; John Little; Donal O'Shea. Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. 1998: 1. ISBN 0-387-98487-9.
^ Hazewinkel, Michiel (编), Monomial, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] 其中若指數為 $0$ ，對應的幂次乘積會等於1

[2] Cox, David; John Little; Donal O'Shea. Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. 1998: 1. ISBN 0-387-98487-9.

[3] Hazewinkel, Michiel (编), Monomial, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

[註 1]

[1]

[2]

二種定義的比較

單項基函數

標示

注释

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參考資料