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单项式

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数学上的单项式(英语:Monomial)是指只有一项的多项式。如都是单项式。

单项式有两种不同的定义:

  1. 单项式,也称为幂乘积,是各变数自然数幂次的乘积,也可以说是变数之间的乘积,变数可能会重复出现,例如即为单项式。常数也是单项式,等于空积,也等于可以对应任意变数。若只考虑单变数,则其单项式可能是或是的幂次,其中为正整数。若考虑多个变数,如,每一个变数都可能有其幂次,因此单项式会是,其中是非负整数[注 1]
  2. 单项式也可以是上述定义的单项式,乘以一个非零的常数,称为单项式的系数。第一种定义下的单项式是这种定义当中,系数为的特例。例如都是单项式(第二例中,变数是,且其系数是复数)。

若在讨论洛朗多项式英语Laurent polynomial洛朗级数时,单项式的幂次可以是负数,若在讨论皮瑟级数英语Puiseux series时,幂次可以是有理数

二种定义的比较

在上述两种定义中,单项式都是多项式中的子集,且具有乘法封闭性。

在文献中这两种定义都有出现,在许多应用中可以忽略这两种定义之间的差异,这里有些第一个定义[1],以及第二个定义的例子[2]。在非正式的讨论中不太需要区分其差异。一般是倾向使用范围较广的第二个定义。不过在研究多项式结构时,一般会需要用到第一个定义。例如在考虑多项式环单项基函数英语monomial basis,或是此一基底的単项式顺序英语monomial order

以下的“单项式”会以上述的第一个定义为准。

单项基函数

所有的多项式都是单项式的线性组合,因此形成多项式向量空间,称为单项基函数(monomial basis)。

标示

偏微分方程中常需要标示单项式。若用的变数是像, , , ...之类用下标区隔的变数,则可以用多重指标表示,例如

可以定义

以简化标示。

注释

  1. ^ 其中若指数为,对应的幂次乘积会等于1

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参考资料

  1. ^ Cox, David; John Little; Donal O'Shea. Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. 1998: 1. ISBN 0-387-98487-9. 
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (编), Monomial, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4