八元数 (英语:Octonion )是以实数构建的8维度赋范可除代数 ,为四元数 非结合 推广的超复数 ,通常记为O 或
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
。八元数的8个维度可以视为2个4维度之四元数 的组合。八元数不具备结合律 和交换律 ,但具备交错代数 的特性,并保有幂结合性 。
也许是因为八元数的乘法不具备结合性,因此它们作为超复数 而言受关注的程度较四元数低。尽管如此,八元数仍然与数学中的一些例外结构有关,其中包括例外李群。此外,八元数在诸如弦理论 、狭义相对论 和量子逻辑 中也有应用。
历史
八元数第一次被描述于1843年,于一封约翰·格雷夫斯 给威廉·卢云·哈密顿 的信中。格雷夫斯称其为“octaves”。[ 1] :168 后来八元数由阿瑟·凯莱 在1845年独自发表。[ 2] 格雷夫斯发表结果的时间点比阿瑟·凯莱 发表的时间稍晚一些[ 3] 。阿瑟·凯莱发表的八元数和约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中所提及的并无关系。阿瑟·凯莱是独自发现八元数的,[ 2] 因此八元数又被称为凯莱数 或凯莱代数 。哈密顿则描述了八元数被发现并描述的早期历史。[ 4]
定义
八元数可以视为实数 的八元组。八元数有多种构造方式。以凯莱-迪克森结构 为例,八元数可以表达为2个四元数 P 与Q 的组合,即 P +Q l 或
p
0
+
p
1
i
+
p
2
j
+
p
3
k
+
(
q
0
+
q
1
i
+
q
2
j
+
q
3
k
)
l
{\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}
,其中,量l 为其中一个八元数单位并满足:[ 5]
i
2
=
j
2
=
k
2
=
l
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,}
在这种定义下每一个八元数都是单位八元数 {1, i , j , k , l , il , jl , kl } 的线性组合 。也就是说,每一个八元数x 都可以写成[ 6]
x
=
x
0
+
x
1
i
+
x
2
j
+
x
3
k
+
x
4
l
+
x
5
i
l
+
x
6
j
l
+
x
7
k
l
{\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}
其中系数x a 是实数。
这些八元数单位亦满足:[ 5]
i
2
=
j
2
=
k
2
=
l
2
=
(
i
l
)
2
=
(
j
l
)
2
=
(
k
l
)
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,}
八元数的加法是把对应的系数相加,就像复数 和四元数 一样。根据线性,八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表 来决定。[ 6]
×
{\displaystyle \times }
1
{\displaystyle 1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
l
{\displaystyle l}
i
l
{\displaystyle il}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
l
{\displaystyle l}
i
l
{\displaystyle il}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
−
1
{\displaystyle -1}
k
{\displaystyle k}
−
j
{\displaystyle -j}
i
l
{\displaystyle il}
−
l
{\displaystyle -l}
−
k
l
{\displaystyle -kl}
j
l
{\displaystyle jl}
j
{\displaystyle j}
j
{\displaystyle j}
−
k
{\displaystyle -k}
−
1
{\displaystyle -1}
i
{\displaystyle i}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
−
l
{\displaystyle -l}
−
i
l
{\displaystyle -il}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
j
{\displaystyle j}
−
i
{\displaystyle -i}
−
1
{\displaystyle -1}
k
l
{\displaystyle kl}
−
j
l
{\displaystyle -jl}
i
l
{\displaystyle il}
−
l
{\displaystyle -l}
l
{\displaystyle l}
l
{\displaystyle l}
−
i
l
{\displaystyle -il}
−
j
l
{\displaystyle -jl}
−
k
l
{\displaystyle -kl}
−
1
{\displaystyle -1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
i
l
{\displaystyle il}
i
l
{\displaystyle il}
l
{\displaystyle l}
−
k
l
{\displaystyle -kl}
j
l
{\displaystyle jl}
−
i
{\displaystyle -i}
−
1
{\displaystyle -1}
−
k
{\displaystyle -k}
j
{\displaystyle j}
j
l
{\displaystyle jl}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
l
{\displaystyle l}
−
i
l
{\displaystyle -il}
−
j
{\displaystyle -j}
k
{\displaystyle k}
−
1
{\displaystyle -1}
−
i
{\displaystyle -i}
k
l
{\displaystyle kl}
k
l
{\displaystyle kl}
−
j
l
{\displaystyle -jl}
i
l
{\displaystyle il}
l
{\displaystyle l}
−
k
{\displaystyle -k}
−
j
{\displaystyle -j}
i
{\displaystyle i}
−
1
{\displaystyle -1}
一些不同的定义方式会将八元数的单位元素表达为e a 的线性组合,其中 a =0, 1,..., 7 :[ 7]
{
e
0
,
e
1
,
e
2
,
e
3
,
e
4
,
e
5
,
e
6
,
e
7
}
,
{\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}
当中的
e
0
{\displaystyle e_{0}}
为实数单位。每个八元数单位元素皆不相等,而其平方为实数。也就是说,每个八元数 x 都可以写成以下形式[ 8] :
x
=
x
0
e
0
+
x
1
e
1
+
x
2
e
2
+
x
3
e
3
+
x
4
e
4
+
x
5
e
5
+
x
6
e
6
+
x
7
e
7
,
{\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,}
[ 9] :5
其中xi 为单位元素ei 的系数,且必为实数。八元数的加法和减法是通过加减相应的项以及它们的系数来完成的,与四元数 的加减法类似。 乘法则较为复杂。 八元数的乘法是对加法的分配,所以两个八元数的乘积可以通过对所有项的乘积求和来计算,再次如同四元数一般。 每对项的乘积可以通过系数的乘积和单位八元数的乘法表给出[ 7] ,其乘法表的结构与{1, i , j , k , l , il , jl , kl } 的模式(
p
0
+
p
1
i
+
p
2
j
+
p
3
k
+
(
q
0
+
q
1
i
+
q
2
j
+
q
3
k
)
l
{\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}
)类似。这个乘法表先后由Graves于1843年和Cayley于1845年描述:[ 10]
e
i
e
j
{\displaystyle e_{i}e_{j}}
[ 11]
e
j
{\displaystyle e_{j}}
e
0
{\displaystyle e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
i
{\displaystyle e_{i}}
e
0
{\displaystyle e_{0}}
e
0
{\displaystyle e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
−
e
2
{\displaystyle -e_{2}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
−
e
4
{\displaystyle -e_{4}}
−
e
7
{\displaystyle -e_{7}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
−
e
3
{\displaystyle -e_{3}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
−
e
4
{\displaystyle -e_{4}}
−
e
5
{\displaystyle -e_{5}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
−
e
1
{\displaystyle -e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
−
e
6
{\displaystyle -e_{6}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
−
e
4
{\displaystyle -e_{4}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
5
{\displaystyle -e_{5}}
−
e
6
{\displaystyle -e_{6}}
−
e
7
{\displaystyle -e_{7}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
7
{\displaystyle -e_{7}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
−
e
1
{\displaystyle -e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
−
e
3
{\displaystyle -e_{3}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
5
{\displaystyle -e_{5}}
−
e
2
{\displaystyle -e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
−
e
1
{\displaystyle -e_{1}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
−
e
6
{\displaystyle -e_{6}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
3
{\displaystyle -e_{3}}
−
e
2
{\displaystyle -e_{2}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
除了主对角线上以及
e
0
{\displaystyle e_{0}}
作为操作数的行和列的元素之外,乘法表中的大多数非对角元素都是反对称的,这使得这个乘法表几乎是一个斜对称矩阵。
该表可总结如下:[ 12]
e
i
e
j
=
{
e
j
,
if
i
=
0
e
i
,
if
j
=
0
−
δ
i
j
e
0
+
ε
i
j
k
e
k
,
otherwise
{\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
其中δij 为克罗内克δ函数 (当且仅当i = j 时为1)、 εijk 为完全反对称张量 ,且当ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 时,值为1。[ 9]
然而,上述定义并不是唯一的。这些定义只是
e
0
=
1
{\displaystyle e_{0}=1}
八元数乘法的480个可能定义之一。其他的八元数乘法定义可以透过置换和改变非标量基元素
{
e
0
,
e
1
,
e
2
,
e
3
,
e
4
,
e
5
,
e
6
,
e
7
}
,
{\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}
的符号来获得。[ 13] 这480个不同乘法定义对应的代数结构是同构的,很少需要考虑使用哪个特定的乘法规则。
这480个八元数乘法定义中,每一定义的正负号在7循环(1234567)下的特定点上都是不变的,并且对于每个7循环有四个定义,它们的区别在于正负号和顺序的反转。 一个常见的选择是使用 e 1 e 2 = e 4 的7循环(1234567)下的定义不变量 — 通过使用三角乘法图或下面的 法诺平面,该平面还显示了基于124的7循环三元组及其相关乘法的排序列表e n 和
i
j
k
l
{\displaystyle ijkl}
格式的矩阵。[ 14]
此外,亦有一些文献会将八元数的单位定义为
1
,
i
,
j
,
k
,
L
,
m
,
n
,
o
{\displaystyle 1,i,j,k,L,m,n,o}
。[ 15]
凯莱-迪克松构造
一个更加系统的定义八元数的方法,是通过凯莱-迪克松构造 。就像四元数可以用一对复数来定义一样,八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
和
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
的乘积定义为:[ 8] :153
(
a
,
b
)
(
c
,
d
)
=
(
a
c
−
d
∗
b
,
d
a
+
b
c
∗
)
{\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}
其中
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
表示四元数
z
{\displaystyle z}
的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。[ 16]
法诺平面记忆
八元数的乘积的简单记忆。
一个用来记忆八元数的乘积的方便办法,由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线(经过i 、j 和k 的圆也视为一条直线),称为法诺平面 。[ 17] 这些直线是有向的。七个点对应于Im(
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
) 的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上,而每一条直线正好通过三个点。[ 18]
设(a , b , c ) 为位于一条给定的直线上的三个有序点,其顺序由箭头的方向指定。那么,乘法由下式给出:[ 18]
ab = c ,ba = −c
以及它们的循环置换 。这些规则[ 18]
1是乘法单位元,
对于图中的每一个点,都有
e
2
=
−
1
{\displaystyle e^{2}=-1}
完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的一个子代数,与四元数
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
同构。[ 8] :151-152
共轭、范数和逆元素
八元数
x
=
x
0
+
x
1
i
+
x
2
j
+
x
3
k
+
x
4
l
+
x
5
i
l
+
x
6
j
l
+
x
7
k
l
{\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}
的共轭为:
x
∗
=
x
0
−
x
1
i
−
x
2
j
−
x
3
k
−
x
4
l
−
x
5
i
l
−
x
6
j
l
−
x
7
k
l
.
{\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.}
当中除了实数项外,其余项正负号皆相反 。因此若将八元数单位表达为{e 1 , e 2 ... e 7 } ,则八元数的共轭可以简化表示为:[ 9] :6
x
∗
=
x
¯
=
x
0
e
0
−
x
i
e
i
,
i
=
1
,
2
⋯
7
{\displaystyle x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7}
共轭是
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的一个对合 ,满足
(
x
y
)
∗
=
y
∗
x
∗
{\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}
(注意次序的变化)。[ 16]
x 的实数部分定义为
R
e
(
x
)
=
x
+
x
∗
2
=
x
0
{\displaystyle \mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}}
,虚数部分定义为
I
m
(
x
)
=
x
−
x
∗
2
{\displaystyle \mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}}
。[ 16] 所有纯虚的八元数生成了
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的一个七维子空间,记为Im(
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
) 。[ 8] :186
八元数x 的范数 可用与自身共轭的积
‖
x
‖
2
=
x
∗
x
{\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x}
来定义[ 16] :
‖
x
‖
=
x
∗
x
{\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}
在这里,平方根 是定义良好的,因为
x
∗
x
=
x
x
∗
{\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}
总是非负实数:[ 注 1]
‖
x
‖
2
=
x
∗
x
=
x
0
2
+
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
{\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}}
这个范数与
R
8
{\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}
上的标准欧几里得范数 是一致的。
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
上范数的存在,意味着
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的所有非零元素都存在逆元素 。x ≠ 0 的逆元素为:[ 16] [ 9] :6
x
−
1
=
x
∗
‖
x
‖
2
{\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}
它满足
x
x
−
1
=
x
−
1
x
=
1
{\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}
。
性质
八元数的乘法既不是交换 的:[ 9] :6
i
j
=
−
j
i
≠
j
i
{\displaystyle ij=-ji\neq ji\,}
也不是结合 的:[ 5] :41
(
i
j
)
l
=
−
i
(
j
l
)
≠
i
(
j
l
)
{\displaystyle (ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,}
然而,八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性 [ 9] :2 。这就是说,由任何两个元素所生成的子代数 是结合的。[ 9] :3 实际上,我们可以证明,由
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的任何两个元素所生成的子代数都与
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
、
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
或
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
同构,它们都是结合的。由于八元数不满足结合性,因此它们没有矩阵的表示法,与四元数 不一样。[ 9]
八元数确实保留了
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
、
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
和
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
共同拥有的一个重要的性质:
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
上的范数满足
‖
x
y
‖
=
‖
x
‖
‖
y
‖
{\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|}
这意味着八元数形成了一个非结合的赋范可除代数 。所有由凯莱-迪克松构造 所定义的更高维代数都不满足这个性质,因为它们都存在零因子 。[ 19]
这样,实数域上唯一的赋范可除代数是
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
、
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
、
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
和
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数 。[ 8] :155
由于八元数不是结合的,因此
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的非零元素不形成一个群。然而,它们形成一个拟群 。
自同构
八元数的自同构 A ,是
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的可逆线性变换 ,满足:
A
(
x
y
)
=
A
(
x
)
A
(
y
)
.
{\displaystyle A(xy)=A(x)A(y).\,}
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的所有自同构的集合组成了一个群 ,称为G 2 。[ 21] [ 9] 群G 2 是一个单连通 、紧致 、14维的实李群 。[ 22] 这个群是例外李群 中最小的一个。[ 23]
参见
注释
^ 在范数可良好定义的前提下,
x
+
x
∗
2
∈
R
{\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R} }
,且
x
∗
x
>
0
{\displaystyle x^{*}x>0}
[ 16] ,因此可以得到
x
∗
x
=
x
x
∗
{\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}
总是非负实数的结论。
参考文献
^ Sabadini, I. and Shapiro, M. and Sommen, F. Hypercomplex Analysis . Trends in Mathematics. Birkhäuser Basel. 2009 [2022-04-27 ] . ISBN 9783764398934 . LCCN 2008942605 . (原始内容 存档于2021-10-26).
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延伸阅读
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可数集
自然数 (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
)
整数 (
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
)
有理数 (
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
)
规矩数
代数数 (
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
)
周期
可计算数
可定义数
高斯整数 (
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
)
艾森斯坦整数
合成代数
可除代数 :实数 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
)
复数 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)
四元数 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
)
八元数 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
)
凯莱-迪克森结构
实数 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
)
复数 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)
四元数 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
)
八元数 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
)
十六元数 (
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
)
三十二元数
六十四元数
一百二十八元数
二百五十六元数……
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