八元數 (英語:Octonion )是以實數構建的8維度賦範可除代數 ,為四元數 非結合 推廣的超複數 ,通常記為O 或
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數 的組合。八元數不具備結合律 和交換律 ,但具備交錯代數 的特性,並保有冪結合性 。
也許是因為八元數的乘法不具備結合性,因此它們作為超複數 而言受關注的程度較四元數低。儘管如此,八元數仍然與數學中的一些例外結構有關,其中包括例外李群。此外,八元數在諸如弦理論 、狹義相對論 和量子邏輯 中也有應用。
歷史
八元數第一次被描述於1843年,於一封約翰·格雷夫斯 給威廉·盧雲·哈密頓 的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。[ 1] :168 後來八元數由阿瑟·凱萊 在1845年獨自發表。[ 2] 格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凱萊 發表的時間稍晚一些[ 3] 。阿瑟·凱萊發表的八元數和約翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凱萊是獨自發現八元數的,[ 2] 因此八元數又被稱為凱萊數 或凱萊代數 。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。[ 4]
定義
八元數可以視為實數 的八元組。八元數有多種構造方式。以凱萊-迪克森結構 為例,八元數可以表達為2個四元數 P 與Q 的組合,即 P +Q l 或
p
0
+
p
1
i
+
p
2
j
+
p
3
k
+
(
q
0
+
q
1
i
+
q
2
j
+
q
3
k
)
l
{\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}
,其中,量l 為其中一個八元數單位並滿足:[ 5]
i
2
=
j
2
=
k
2
=
l
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,}
在這種定義下每一個八元數都是單位八元數 {1, i , j , k , l , il , jl , kl } 的線性組合 。也就是說,每一個八元數x 都可以寫成[ 6]
x
=
x
0
+
x
1
i
+
x
2
j
+
x
3
k
+
x
4
l
+
x
5
i
l
+
x
6
j
l
+
x
7
k
l
{\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}
其中係數x a 是實數。
這些八元數單位亦滿足:[ 5]
i
2
=
j
2
=
k
2
=
l
2
=
(
i
l
)
2
=
(
j
l
)
2
=
(
k
l
)
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,}
八元數的加法是把對應的係數相加,就像複數 和四元數 一樣。根據線性,八元數的乘法完全由以下單位八元數的乘法表 來決定。[ 6]
×
{\displaystyle \times }
1
{\displaystyle 1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
l
{\displaystyle l}
i
l
{\displaystyle il}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
l
{\displaystyle l}
i
l
{\displaystyle il}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
−
1
{\displaystyle -1}
k
{\displaystyle k}
−
j
{\displaystyle -j}
i
l
{\displaystyle il}
−
l
{\displaystyle -l}
−
k
l
{\displaystyle -kl}
j
l
{\displaystyle jl}
j
{\displaystyle j}
j
{\displaystyle j}
−
k
{\displaystyle -k}
−
1
{\displaystyle -1}
i
{\displaystyle i}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
−
l
{\displaystyle -l}
−
i
l
{\displaystyle -il}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
j
{\displaystyle j}
−
i
{\displaystyle -i}
−
1
{\displaystyle -1}
k
l
{\displaystyle kl}
−
j
l
{\displaystyle -jl}
i
l
{\displaystyle il}
−
l
{\displaystyle -l}
l
{\displaystyle l}
l
{\displaystyle l}
−
i
l
{\displaystyle -il}
−
j
l
{\displaystyle -jl}
−
k
l
{\displaystyle -kl}
−
1
{\displaystyle -1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
i
l
{\displaystyle il}
i
l
{\displaystyle il}
l
{\displaystyle l}
−
k
l
{\displaystyle -kl}
j
l
{\displaystyle jl}
−
i
{\displaystyle -i}
−
1
{\displaystyle -1}
−
k
{\displaystyle -k}
j
{\displaystyle j}
j
l
{\displaystyle jl}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
l
{\displaystyle l}
−
i
l
{\displaystyle -il}
−
j
{\displaystyle -j}
k
{\displaystyle k}
−
1
{\displaystyle -1}
−
i
{\displaystyle -i}
k
l
{\displaystyle kl}
k
l
{\displaystyle kl}
−
j
l
{\displaystyle -jl}
i
l
{\displaystyle il}
l
{\displaystyle l}
−
k
{\displaystyle -k}
−
j
{\displaystyle -j}
i
{\displaystyle i}
−
1
{\displaystyle -1}
一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為e a 的線性組合,其中 a =0, 1,..., 7 :[ 7]
{
e
0
,
e
1
,
e
2
,
e
3
,
e
4
,
e
5
,
e
6
,
e
7
}
,
{\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}
當中的
e
0
{\displaystyle e_{0}}
為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等,而其平方為實數。也就是說,每個八元數 x 都可以寫成以下形式[ 8] :
x
=
x
0
e
0
+
x
1
e
1
+
x
2
e
2
+
x
3
e
3
+
x
4
e
4
+
x
5
e
5
+
x
6
e
6
+
x
7
e
7
,
{\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,}
[ 9] :5
其中xi 為單位元素ei 的係數,且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的係數來完成的,與四元數 的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配,所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算,再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出[ 7] ,其乘法表的結構與{1, i , j , k , l , il , jl , kl } 的模式(
p
0
+
p
1
i
+
p
2
j
+
p
3
k
+
(
q
0
+
q
1
i
+
q
2
j
+
q
3
k
)
l
{\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}
)類似。這個乘法表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述:[ 10]
e
i
e
j
{\displaystyle e_{i}e_{j}}
[ 11]
e
j
{\displaystyle e_{j}}
e
0
{\displaystyle e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
i
{\displaystyle e_{i}}
e
0
{\displaystyle e_{0}}
e
0
{\displaystyle e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
−
e
2
{\displaystyle -e_{2}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
−
e
4
{\displaystyle -e_{4}}
−
e
7
{\displaystyle -e_{7}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
−
e
3
{\displaystyle -e_{3}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
−
e
4
{\displaystyle -e_{4}}
−
e
5
{\displaystyle -e_{5}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
−
e
1
{\displaystyle -e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
−
e
6
{\displaystyle -e_{6}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
−
e
4
{\displaystyle -e_{4}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
5
{\displaystyle -e_{5}}
−
e
6
{\displaystyle -e_{6}}
−
e
7
{\displaystyle -e_{7}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
7
{\displaystyle -e_{7}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
−
e
1
{\displaystyle -e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
−
e
3
{\displaystyle -e_{3}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
5
{\displaystyle -e_{5}}
−
e
2
{\displaystyle -e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
−
e
1
{\displaystyle -e_{1}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
−
e
6
{\displaystyle -e_{6}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
3
{\displaystyle -e_{3}}
−
e
2
{\displaystyle -e_{2}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
除了主對角線上以及
e
0
{\displaystyle e_{0}}
作為操作數的行和列的元素之外,乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的,這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。
該表可總結如下:[ 12]
e
i
e
j
=
{
e
j
,
if
i
=
0
e
i
,
if
j
=
0
−
δ
i
j
e
0
+
ε
i
j
k
e
k
,
otherwise
{\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
其中δij 為克羅內克δ函數 (當且僅當i = j 時為1)、 εijk 為完全反對稱張量 ,且當ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 時,值為1。[ 9]
然而,上述定義並不是唯一的。這些定義只是
e
0
=
1
{\displaystyle e_{0}=1}
八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素
{
e
0
,
e
1
,
e
2
,
e
3
,
e
4
,
e
5
,
e
6
,
e
7
}
,
{\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}
的符號來獲得。[ 13] 這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的,很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。
這480個八元數乘法定義中,每一定義的正負號在7循環(1234567)下的特定點上都是不變的,並且對於每個7循環有四個定義,它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 e 1 e 2 = e 4 的7循環(1234567)下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法諾平面,該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表e n 和
i
j
k
l
{\displaystyle ijkl}
格式的矩陣。[ 14]
此外,亦有一些文獻會將八元數的單位定義為
1
,
i
,
j
,
k
,
L
,
m
,
n
,
o
{\displaystyle 1,i,j,k,L,m,n,o}
。[ 15]
凱萊-迪克松構造
一個更加系統的定義八元數的方法,是通過凱萊-迪克松構造 。就像四元數可以用一對複數來定義一樣,八元數可以用一對四元數來定義。兩對四元數
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
和
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
的乘積定義為:[ 8] :153
(
a
,
b
)
(
c
,
d
)
=
(
a
c
−
d
∗
b
,
d
a
+
b
c
∗
)
{\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}
其中
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
表示四元數
z
{\displaystyle z}
的共軛。這個定義與上面給出的定義是等價的。[ 16]
法諾平面記憶
八元數的乘積的簡單記憶。
一個用來記憶八元數的乘積的方便辦法,由右面的圖給出。這個圖中有七個點和七條直線(經過i 、j 和k 的圓也視為一條直線),稱為法諾平面 。[ 17] 這些直線是有向的。七個點對應於Im(
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
) 的七個標準基元素。每一對不同的點位於唯一的一條直線上,而每一條直線正好通過三個點。[ 18]
設(a , b , c ) 為位於一條給定的直線上的三個有序點,其順序由箭頭的方向指定。那麼,乘法由下式給出:[ 18]
ab = c ,ba = −c
以及它們的循環置換 。這些規則[ 18]
1是乘法單位元,
對於圖中的每一個點,都有
e
2
=
−
1
{\displaystyle e^{2}=-1}
完全定義了八元數的乘法結構。七條直線的每一條都生成了
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的一個子代數,與四元數
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
同構。[ 8] :151-152
共軛、範數和逆元素
八元數
x
=
x
0
+
x
1
i
+
x
2
j
+
x
3
k
+
x
4
l
+
x
5
i
l
+
x
6
j
l
+
x
7
k
l
{\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}
的共軛為:
x
∗
=
x
0
−
x
1
i
−
x
2
j
−
x
3
k
−
x
4
l
−
x
5
i
l
−
x
6
j
l
−
x
7
k
l
.
{\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.}
當中除了實數項外,其餘項正負號皆相反 。因此若將八元數單位表達為{e 1 , e 2 ... e 7 } ,則八元數的共軛可以簡化表示為:[ 9] :6
x
∗
=
x
¯
=
x
0
e
0
−
x
i
e
i
,
i
=
1
,
2
⋯
7
{\displaystyle x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7}
共軛是
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的一個對合 ,滿足
(
x
y
)
∗
=
y
∗
x
∗
{\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}
(注意次序的變化)。[ 16]
x 的實數部分定義為
R
e
(
x
)
=
x
+
x
∗
2
=
x
0
{\displaystyle \mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}}
,虛數部分定義為
I
m
(
x
)
=
x
−
x
∗
2
{\displaystyle \mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}}
。[ 16] 所有純虛的八元數生成了
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的一個七維子空間,記為Im(
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
) 。[ 8] :186
八元數x 的範數 可用與自身共軛的積
‖
x
‖
2
=
x
∗
x
{\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x}
來定義[ 16] :
‖
x
‖
=
x
∗
x
{\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}
在這裡,平方根 是定義良好的,因為
x
∗
x
=
x
x
∗
{\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}
總是非負實數:[ 註 1]
‖
x
‖
2
=
x
∗
x
=
x
0
2
+
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
{\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}}
這個範數與
R
8
{\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}
上的標準歐幾里得範數 是一致的。
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
上範數的存在,意味著
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的所有非零元素都存在逆元素 。x ≠ 0 的逆元素為:[ 16] [ 9] :6
x
−
1
=
x
∗
‖
x
‖
2
{\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}
它滿足
x
x
−
1
=
x
−
1
x
=
1
{\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}
。
性質
八元數的乘法既不是交換 的:[ 9] :6
i
j
=
−
j
i
≠
j
i
{\displaystyle ij=-ji\neq ji\,}
也不是結合 的:[ 5] :41
(
i
j
)
l
=
−
i
(
j
l
)
≠
i
(
j
l
)
{\displaystyle (ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,}
然而,八元數確實滿足結合性的一個較弱形式──交錯性 [ 9] :2 。這就是說,由任何兩個元素所生成的子代數 是結合的。[ 9] :3 實際上,我們可以證明,由
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的任何兩個元素所生成的子代數都與
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
、
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
或
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
同構,它們都是結合的。由於八元數不滿足結合性,因此它們沒有矩陣的表示法,與四元數 不一樣。[ 9]
八元數確實保留了
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
、
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
和
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
共同擁有的一個重要的性質:
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
上的範數滿足
‖
x
y
‖
=
‖
x
‖
‖
y
‖
{\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|}
這意味著八元數形成了一個非結合的賦範可除代數 。所有由凱萊-迪克松構造 所定義的更高維代數都不滿足這個性質,因為它們都存在零因子 。[ 19]
這樣,實數域上唯一的賦範可除代數是
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
、
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
、
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
和
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
。這四個代數也形成了實數域上唯一的交錯的、有限維的可除代數 。[ 8] :155
由於八元數不是結合的,因此
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的非零元素不形成一個群。然而,它們形成一個擬群 。
自同構
八元數的自同構 A ,是
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的可逆線性變換 ,滿足:
A
(
x
y
)
=
A
(
x
)
A
(
y
)
.
{\displaystyle A(xy)=A(x)A(y).\,}
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
的所有自同構的集合組成了一個群 ,稱為G 2 。[ 21] [ 9] 群G 2 是一個單連通 、緊緻 、14維的實李群 。[ 22] 這個群是例外李群 中最小的一個。[ 23]
參見
註釋
^ 在範數可良好定義的前提下,
x
+
x
∗
2
∈
R
{\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R} }
,且
x
∗
x
>
0
{\displaystyle x^{*}x>0}
[ 16] ,因此可以得到
x
∗
x
=
x
x
∗
{\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}
總是非負實數的結論。
參考文獻
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延伸閱讀
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