单位元
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单位元(unit element[1])也称恒等元(identity element)、中立元(neutral element)、恒元,是集合里的一种特殊元素,与该集合里的二元运算有关。单位元和其他元素结合时,并不会改变那些元素。单位元在群和其他相关概念中都有使用。
设为一带有一二元运算的集合(称为原群)。若内有一元素对S内所有元素a满足,则被称为左单位元;若满足,则称为右单位元。而若同时为左单位元及右单位元,则称为双边单位元,又简称为单位元。
对应加法的单位元称为加法单位元(通常被标为0),而对应乘法的单位元则称为乘法单位元(通常被标为1)。这一区分大多被用在有两个二元运算的集合上,比如环。
例子
集合 运算 单位元 实数 +(加法) 0 实数 ·(乘法) 1 实数 (乘方) 1(只为右单位元) 复数 +(加法) 0 复数 ·(乘法) 1 矩阵 +(加法) 零矩阵 方阵 ·(乘法) 单位矩阵 所有从集合M映射至其自身的函数 (函数复合) 单位函数 所有从集合M映射至其自身的函数 (卷积) (狄拉克δ函数) 字串 串接 空字元串 扩展的实轴 最大值 扩展的实轴 最小值 集合M的子集 (交集) M 集合 (并集) (空集) 布尔逻辑 (逻辑与) ⊤(真值) 布尔逻辑 (逻辑或) ⊥(假值) 闭二维流形 #(连通和) 只两个元素 * 定义为
且和都是左单位元,但不存在右单位元和双边单位元
如最后一个例子所示,有多个左单位元是可能的,且事实上,每一个元素都可以是左单位元。同样地,右单位元也一样。但若同时存在有右单位元和左单位元,则它们会相同,且仅存在一个双边单位元。要证明这个,设为左单位元且为右单位元,则。特别的,不存在两个以上的单位元。若有两个单位元和,则必同时等于和。
一个代数也可能没有单位元。最常见的例子为向量的内积和外积。前者缺乏单位元的原因在于,相乘的两个元素都会是向量,但乘积却会是个标量。而外积缺乏单位元的原因则在于,任一非零外积的方向必和相乘的两个向量相正交,因此不可能得出一个和原向量指向同方向的外积向量。
参考
另见
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