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單位元

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單位元(unit element[1])也稱恆等元(identity element)、中立元(neutral element)、恆元,是集合裏的一種特殊元素,與該集合裏的二元運算有關。單位元和其他元素結合時,並不會改變那些元素。單位元在和其他相關概念中都有使用。

為一帶有一二元運算的集合(稱為原群)。若內有一元素S內所有元素a滿足,則被稱為左單位元;若滿足,則稱為右單位元。而若同時為左單位元及右單位元,則稱為雙邊單位元,又簡稱為單位元

對應加法的單位元稱為加法單位元(通常被標為0),而對應乘法的單位元則稱為乘法單位元(通常被標為1)。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上,比如

例子

集合 運算 單位元
實數 +(加法 0
實數 ·(乘法 1
實數 乘方 1(只為右單位元)
複數 +(加法 0
複數 ·(乘法 1
矩陣 +(加法) 零矩陣
方陣 ·(乘法) 單位矩陣
所有從集合M映射至其自身的函數 函數複合 單位函數
所有從集合M映射至其自身的函數 卷積 狄拉克δ函數
字串 串接 空字元串
擴展的實軸 最大值
擴展的實軸 最小值
集合M的子集 (交集) M
集合 (併集) (空集)
布爾邏輯 邏輯與 ⊤(真值)
布爾邏輯 邏輯或 ⊥(假值)
閉二維流形 #(連通和
只兩個元素 * 定義為

都是左單位元,但不存在右單位元和雙邊單位元

如最後一個例子所示,有多個左單位元是可能的,且事實上,每一個元素都可以是左單位元。同樣地,右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元,則它們會相同,且僅存在一個雙邊單位元。要證明這個,設為左單位元且為右單位元,則。特別的,不存在兩個以上的單位元。若有兩個單位元,則必同時等於

一個代數也可能沒有單位元。最常見的例子為向量內積外積。前者缺乏單位元的原因在於,相乘的兩個元素都會是向量,但乘積卻會是個純量。而外積缺乏單位元的原因則在於,任一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相正交,因此不可能得出一個和原向量指向同方向的外積向量。

參考

  1. ^ 存档副本. [2023-07-19]. (原始內容存檔於2023-07-19). 

另見